四川省遂宁市2015年中考数学试题（word解析版）

（2）求证：AD=AM?AB； （3）若AM=

，sin∠ABD=，求线段BN的长．

2

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果； （2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论； （3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果． 解答： （1）证明：连接OD， ∵直线CD切⊙O于点D， ∴∠CDO=90°，

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， ∵OB=OD， ∴∠3=∠4，

∴∠ADC=∠ABD；

（2）证明：∵AM⊥CD， ∴∠AMD=∠ADB=90°， ∵∠1=∠4，

∴△ADM∽△ABD，

∴

2

，

∴AD=AM?AB；

（3）解：∵sin∠ABD=， ∴sin∠1=， ∵AM=

，

∴AD=6， ∴AB=10， ∴BD=

=8，

∵BN⊥CD， ∴∠BND=90°，

∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°， ∴∠DBN=∠1， ∴sin∠NBD=， ∴DN=∴BN=

，

=

．

点评： 本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．21cnjy.com

25．（12分）（2015?遂宁）如图，已知抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．2-1-c-n-j-y

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；21*cnjy*com

（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．

2

考点： 二次函数综合题．

2

分析： （1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax+bx+c，求解即可； （2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，则△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，则△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，则△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标，

（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出S△BOC，再根据△BPD∽△BOC，得出

=（

），

2

=（

），求出S=S△BPD；当点P在y

2

轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据=（），得出

2

=（

），求出S=S△ABC

2

﹣S△APE=9﹣

，再整理即可．

2

解答： 解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax+bx+c得：

，

解得：，

则抛物线的解析式是：y=﹣x+x+3；

（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，21教育网 ∵AC=∴CN=

，

=

，

2

∵△CNM1∽△COA， ∴

=

，

∴=， ，

=，

∴CM1=

∴OM1=OC﹣CM1=3﹣

∴M1的坐标是（0，），

当CA=CM2=时，则△AM2C是等腰三角形， 则OM2=3+， M2的坐标是（0，3+），

当CA=AM3=时，则△AM3C是等腰三角形， 则OM3=3，

M3的坐标是（0，﹣3）， 当CA=CM4=时，则△AM4C是等腰三角形， 则OM4=﹣3， M4的坐标是（0，3﹣），

（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时， 设直线与BC交与点D， ∵OB=4，OC=3， ∴S△BOC=6，

∵BP=BO﹣OP=4﹣t， ∴

=

，

∵△BPD∽△BOC， ∴

=（

），

2

∴=（

2

），

2

∴S=S△BPD=t﹣3t+6（0≤t＜4）； 当点P在y轴左侧时， 设直线与AC交与点E， ∵OP=﹣t，AP=t+2， ∴

=

，

2

∵=（），

∴=（），

2

∴S△APE=

，

∴S=S△ABC﹣S△APE=9﹣

=﹣t﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．

2

点评： 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法．2