2019-2020年高三数学一轮复习 第8篇 第4节 双曲线课时训练 理

答案:10

16.(2014高考湖南卷)如图,O为坐标原点,双曲线C1:-=1(a1>0,b1>0)和椭圆

C2:+=1(a2>b2>0)均过点P(面积为2的正方形.

,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是

(1)求C1,C2的方程;

(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|明你的结论.

解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2. 从而a1=1,c2=1. 因为点P(

,1)在双曲线x-=1上,

2

+|=||?证

所以()-=1.

2

故=3. 由椭圆的定义知

2a2=+=2.

于是a2=,=-=2.

故C1,C2的方程分别为 x-=1,+=1.

2

(2)不存在符合题设条件的直线.

①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点, 所以直线l的方程为x=当x=

时,易知A(

,

或x=-),B(

,-. ),

所以|+|=2,||=2.

此时,|+|≠||.

当x=-时,同理可知,|+|≠||.

②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m. 由

2

2

2

得(3-k)x-2kmx-m-3=0.

当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2是上述方程的两个实根, 从而x1+x2=

,x1x2=

.

于是y1y2=kx1x2+km(x1+x2)+m=

22

.

由得(2k+3)x+4kmx+2m-6=0.

222

因为直线l与C2只有一个公共点, 所以上述方程的判别式 Δ=16km-8(2k+3)(m-3)=0. 化简,得m=2k+3. 因此

·

=x1x2+y1y2=

+

2

2

22

2

2

=≠0,

于是++2·≠+-2·,

即|+|≠|

2

-|.

2

故|+|≠||.

综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.

探究创新

17.(2015贵州省六校联盟联考)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是 . 解析:设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1, 则e1=,

a1=.

设双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e, e=,a=.

|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),

则由余弦定理得4c=x+y-2xycos 60°=x+y-xy, 当点P看作是椭圆上的点时, 有4c=(x+y)-3xy=4-3xy,① 当点P看作是双曲线上的点时, 有4c=(x-y)+xy=4a+xy,② ①②联立消去xy得4c=+3a,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

即4c=

2

+3,

所以+3=4,

又因为=e,

所以e+=4,

整理得e-4e+3=0,解得e=3, 所以e=

,

.

4

2

2

2

即双曲线的离心率为答案: