数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第二十一章

第十一章 重积分

§1 二重积分的概念

1.把重积分??xydxdy作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=?0,1???0,1?,并用直线

D网x=

in,y=

jn(i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为

其界点.

2.证明:若函数f在矩形式域上D可积,则f在D上有界.

3.证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续,则f在D上可积.

4.设D为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.

性质2 若f、g都在D上可积,则f+g在D上也可积,且??f?g?=?f?DD?Dg.

性质4 若f、g在D上可积,且f?g,则

?Df??Dg,

性质7(中值定理) 若f为闭域D上连续函数,则存在??,???D,使得

?fD?f??,???D.

5.设D0、D1和D2均为矩形区域,且

D0?D1?D2,intD1?intD1??, 试证二重积分性质3.

性质3(区域可加性) 若D0?D1?D2且intD1?intD1 ??,则f在D0上可积的充要条件是f在D1、D2上都可积,且

?f=?f??fD0D1D2,

6.设f在可求面积的区域D上连续,证明: (1)若在D上f?x,y??0,f?x,y??0则?f?0;

D(2)若在D内任一子区域D??D上都有

?f.

D??0,则在D上f?x,y??0。

7.证明:若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号,则存在一点

??,???D,使得

??f?x,y?g?x,y?dxdyD=f??,????g?x,y?dxdyD.

8.应用中值定理估计积分

dxdy100?cosx?cosy22??x?y?10

的值

§2 二重积分的计算 1.计算下列二重积分:

(1)???y?2x?dxdy,其中D=?3,5???1,2?;

D2(2)??xydxdy,其中(ⅰ)D=?0,2???0,3?,(ⅱ)D=?0,3? ??0,2?;

D(3)??cos?x?y?dxdy,其中D=?0,D??????0,??; 2??(4)??Dx1?xydxdy,其中D=?0,1???0,1?.

2. 设f(x,y)=f1?x??f2?y?为定义在D=?a1,b1???a2,b2? 上的函数,若f1在?a1,b1?上可积,f2在?a2,b2?上可积,则f在D上可积,且

b1b2?f=?f1??f2.

Da1a23.设f在区域D上连续,试将二重积分??f?x,y?dxdy化为不同顺序的累次积分:

D(1)D由不等式y?x,y?a,x?b?0?a?b?所确的区域:

222(2)D由不等式x?y?a与x?y?a(a>0)所确定的区域;

(3)D=??x,y?x?y?1?.

4.在下列积分中改变累次积分的顺序: (1)

?120dx?x2xxf?x,y?dy; (2)

120?1?1dx?1?x2?1?x2f?x,y?dy;

(3)?dy?f?x,y?dy+?dx?00123?3?x?f?x,y?dy.

5.计算下列二重积分:

p2(1)??xydxdy,其中D由抛物线y=2px与直线x=

D2(p>0)所围的区域;

(2)???x?y?dxdy,其中D=??x,y?0?x?1,

22Dx?y ?2x;

?(3)??Ddxdy2a?x(a>0),其中D为图(20—7)中的阴影部分；

(4)??Dxdxdy,其中D=?x,y?x?y?x;

22??(5)??xydxdy,其中为圆域x2?y2?a2.

D

6.写出积分??f?x,y?dxdy在极坐标变换后不同顺序的累次积分:

d22(1)D由不等式x?y?1,y?x,y?0所确定的区域;

(2)D由不等式a?x?y?b所确定的区域; (3)D=??x,y?x?y?y,x?0?.

222222

7.用极坐标计算二重积分: (1)

??sinDx?ydxdy,其中D=?x,y???x?y ?4?22?2222?;

(2)???x?y?dxdy,其中D=??x,y?x?y?x?y?;

22D(3)??f??x?y?dxdy,其中D为圆域x2?y2?R2.

22D

8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分: (1)

?20dx?2?x1?xf?x,y?dy,其中u=x+y,v=x-y;

(2)

??f?x,y?dxdy,其中D=?x,y?D?x?y?a,x?0, y?0?,若x=Ucosv,

4y?Usin4v.

(3)

??f?x,y?dxdy,其中D=??x,y?x?y?a,x?0, y?0?,若x+y=u,y=uv.

9.求由下列曲面所围立体V的体积:

(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体; (2) v由z=x2?y2和z=x+y围的立体;

(3) v由曲面Z?2x24?y29和2Z=

x24?y29所围的立体.

11.试作适当变换,计算下列积分:

(1)???x?y?sin?x?y?dxdy,D=??x.y?0?x?y??0?x?y???;

D