（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（八）不等式

专项强化练(八) 不 等 式

A组——题型分类练

题型一 一元二次不等式

1．(2020·无锡模拟)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是________．

解析：设f(x)＝x－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．

若关于x的一元二次不等式x－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整

??f数，则?

?f?

2

2

2

2

2≤0，1＞0，

??2－6×2＋a≤0，即?2

?1－6×1＋a＞0，?

解得5＜a≤8，又a∈Z，故a＝6,7,8. 则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21. 答案：21

??2－1，x>0，2．已知函数f(x)＝?2

??－x－4x，x≤0，

xx

则不等式f(x)>3的解集为________________．

2

2

解析：当x>0时，2－1>3，解得x>2，当x≤0时，－x－4x>3，即x＋4x＋3<0，解得－32或－3

答案：{x|x>2或－3

3．(2020·镇江高三期末)已知函数f(x)＝x－kx＋4，对任意的x∈[1,3]，不等式

2

f(x)≥0恒成立，则实数k的最大值为________．

42

解析：由题意得x－kx＋4≥0对任意的x∈[1,3]恒成立，所以k≤x＋对任意的x∈[1,3]

x4

恒成立，因为x＋≥4(当且仅当x＝2时取等号)，所以k≤4，故实数k的最大值为4.

x答案：4

??－x＋1，x≥0，

4．已知函数f(x)＝?2

?－x＋1，x<0，?

则关于x的不等式f(x)>f(2－x)的解集是

2

________________．

解析：由x≥0，得f(x)＝－x＋1， 所以原不等式可转化为f(2－x)<－x＋1， 则当2－x≥0，即x≤2时，

由－(2－x)＋1<－x＋1，得－2

2

2

2

2

2

所以－22时，

由－(2－x)＋1<－x＋1，得x∈?.

综上得，关于x的不等式f(x)>f(2－x)的解集是{x|－2

1．一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．

2．不等式(x－a)(x－b)<0(a0(a

3．对于含参数的不等式ax＋bx＋c<0的求解，应注意对参数进行分类讨论，分类讨论的常见情况有：

(1)二次项系数的符号(包含是否为0)；

(2)计算判别式，判断对应方程根的情况：若有两根，则需要比较两根的大小． 题型二 基本不等式 1．若x>1，则x＋

4

的最小值为________． x－1

444＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，x－1x－1x－1

2

2

2

2

解析：由x>1，得x－1>0，则x＋即x＝3时等号成立．故x＋

答案：5

4

的最小值为5. x－1

2．已知00，

1193

则x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，

33441

当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．

21答案： 2

19

3．已知正数a，b满足＋＝ab－5，则ab的最小值为________．

ab19

解析：因为正数a，b满足＋＝ab－5，

ab所以ab－5≥2

192

×，可化为(ab)－5ab－6≥0，

ab19

解得ab≥6，即ab≥36，当且仅当＝，

ab即a＝2，b＝18时取等号．即ab的最小值为36. 答案：36

1122

4．已知正数x，y满足x＋4y＋x＋2y≤2－4xy，则＋的最小值为________．

xy112

解析：由题意得(x＋2y)＋(x＋2y)－2≤0，且x>0，y>0，所以0

xyx＋2y＝1，??1?112yx??＝?＋?·1≥?＋?·(x＋2y)＝3＋＋≥3＋22，当且仅当?2yxxy?xy??xy??＝，?1

?xy

即

?x＝2－1，

??2y＝1－?2?

11

时，＋取得最小值3＋22.

xy答案：3＋22

5．(2020·南京高三模拟)若正数a，b，c成等差数列，则________．

解析：由正数a，b，c成等差数列，知2b＝a＋c，则令5a＋c＝m,2a＋4c＝n，m>0，n>0，则a＝

cb＋的最小值为2a＋ba＋2ccb2ca＋c＋＝＋，2a＋ba＋2c5a＋c2a＋4c4m－n5n－2mcb1

，c＝，故＋＝18182a＋ba＋2c18

?10n－4m＋4n＋2m?＝1?5n＋m?≥25，当且仅当m＝5n时取等号，故c＋b的最小

?m??n?2a＋ba＋2c??9?mn?9

25值为. 9

25答案：

9[临门一脚] 1．利用基本不等式x＋y2

≥xy时，要注意“正、定、等”三要素，“正”，即x，y都

是正数；“定”，即不等式另一边为定值；“等”，即当且仅当x＝y时取等号．

2．利用基本不等式

x＋y2

≥xy时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并

且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立．

3．利用基本不等式解决二元多项式之间的大小关系，符合极值定理时，才能够求最值．

4．求一元函数最值时如等号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值． 题型三 简单的线性规划问题

x＋y－5≤0，??

1．已知实数x，y满足?2x－y＋2≥0，

??y≥0，

则目标函数z＝x－y的最小值为________．

解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z＝x－y经过点A(1,4)时，取得最小值－3.

答案：－3

x－y－3≤0，??

2．(2020·南京高三模拟)若实数x，y满足?x＋2y－5≥0，

??y－2≤0，

________．

则的取值范围为

yx解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中点A(1,2)，B(5,2)，2?112?yC?，?.表示可行域内的点(x，y)与原点O连线的斜率．连接OA，OC，则kOA＝2，kOC＝，

11?33?xy?2?结合图形可知的取值范围是?，2?.

x?11?

答案：?

?2，2?

??11?

x≥1，??

3．设不等式?x－y≤0，

??x＋y≤4

表示的平面区域为M，若直线l：y＝kx－2上存在M内的

点，则实数k的取值范围是________．