第四章因式分解复习导学案学生版

第四章因式分解复习导学案

知识点一：对分解因式概念的理解

1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个 的 形式，这种变形叫因式分解，因式分解与 是互逆变形. 例1.辨一辨下列从左到右的变形，哪些是因式分解？若是因式分解，请说明其中所用的分解方法.

（1）x2?4y2??x?2y??x?2y?； （2）x?3x?2y??3x2?2xy；

22（3）；m?6mn?9n??m?3n?23222； （4）4m?9mn?m4m?9n；

??1?（5）12x2y2?3xy?4xy； （6）x?1?x?1???.

?x?知识点二：利用提公因式法分解因式

1.公因式：把多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式.

2. 2.确定公因式的方法：分别对数字系数和字母分别进行考虑：当各项系数都是整数时，取各项系数的 作为公因式的系数；各项都含有的字母的 次幂，这两个部分积的形式就是该多项式的公因式. 当多项式的第一项系数是负数时，通常先提出“﹣”号，使得括号内第一项的系数成为 ，或者 在提出“﹣”号时，多项式的各项都 . 例2. 用提公因式法，把下列各式因式分解：

2（1）?27m2n?9mn2?3mn； （2）?a?b??3a?b?a??3b?b?a?.

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知识点三：利用公式法分解因式

1.平方差公式：a2?b2= ；

平方差公式的特征：①等号左边是 项式，这两项的符号 ，且这两项能化成两个数（或式子）的 形式；②等号右边是 ；

2.完全平方公式：a2?2ab?b2= ；a2?2ab?b2 = . 完全平方公式的特征：①等号左边是 项式，其中有两项的符号 ，（注：符号可正可负）且这两项能化成两个数（或式子）的 形式，另一项是这两个数（或式子）乘积的 倍；②等号右边是 ；

注意：a、b不仅可以表示具体数，还可以表示 . 例3. 运用公式法，将下列各式分解因式：

（1）x2?y2； （2）(a?b)2?9(a?b)2；

14（3）?x2?6x?9； （4）(x?y)2?10(x?y)?25.

知识点四：综合运用多种方法分解因式

1.解题时先观察多项式是否有公因式，若有公因式的一定要

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先 ，然后判断余下的多项式是否能使用公式法进行因式分解，用同时注意一直要分解到不能再分解为止. 多项式的首项是负号的一般先 ，使第一项系数为 . 例4.把下列各式分解因式

x3?4x；（1） （2） x2(y2?1)?2x(y2?1)?(y2?1)；

（3）p4?1； （4）?a2?4??16a2.

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知识点五：分解因式的应用 例5.利用分解因式计算.

（1）20012?2001； （2）10242?242；

例6.先因式分解，再求值，其中x2?3x?2?0，求2x3?6x2?4x的值.

257?512能被24整除吗？还能被120整除吗？ 例7.利用分解因式说明：

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例8.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时冲去半径为r的四个小圆．

（1）用代数式表示剩余部分的面积；

（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．

活学活用

1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长.

2.当x取何值时，x2?2x?1取得最小值？

3.当k取何值时，4x2?kxy?9y2是一个完全平方式？

4.248?1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.

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