计数原理与排列组合（教师用）

姓名 学科 数学 学生姓名 年级 高三 填写时间 教材版本 第（ ）课时 共（ ）课时 2016-12-7 人教版 阶段 第（ 48 ）周 观察期：□ 维护期：□ 课题排列组合 名称 课时计划 上课时间 2016-12-8 教学大纲教学目标 目标 1、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． 2、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． 个性化教学目标 体会分类讨论的思想 教学1、正确区分排列与组合,熟练排列数与组合数公式 重点 2、能熟练利用排列数与组合数公式进行求值和证明. 教学分类讨论思想的灵活应用 难点 第一部分：计数原理 问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，??，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有 教学过程 N?m1?m2???mn种不同的方法 说明：1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数. 例1、在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学：生物学 化学 医学 物理学 工程学 B大学：数学 会计学 信息技术学 法学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去第1页/共12页 北 北

C村，共有多少种不同的走法? 二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ??，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有 N?m1?m2???mn种不同的方法 说明：1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数. 例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码? 第二部分：排列 一、问题引入 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，第2页/共12页

另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 问题1和2的共同点是什么？ 二、排列 1、对排列定义的理解. 定义：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2、相同排列. 如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. 3、排列数. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的排列的个数，称为从n个不同元素mAn中取出m个元素的排列数.用符号表示. 且有：Ann? 正整数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示，所以n个不同元素的全排列公式可以写成：An?n! , 规定0! = 1，所以An0＝1。 mm?1n!n?n!?(n?1)!?n!A?nAnn?1 注意：A? (n?m)!nmn 例1、A，B，C，D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法． 第3页/共12页

解：假设A，B，C，D四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号，列出树形图如下： 换位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA. 练习2：四人A、B、C、D坐成一排，其中A不坐在排头，写出所有的坐法． 解： 例2设a∈N*，且a＜27，则(27－a)(28－a)?(34－a)等于( ) A．A27－a8 B．A34－a27a C．A34－a7 D．A34－a8 －解析： 8个括号是连续的自然数，依据排列数的概念，选D. 练习1：解不等式：A8m＋2＜6A8. m8！8！解析： 原不等式可化为＜6·，化简得m2－15m＋50＜0， ?8－m－2?！?8－m?！??m＋2≤8即(m－5)(m－10)＜0，解得5＜m＜10，又?，即m≤6，所以m＝6. ?m≤8? A95＋A942A85＋7A84An－1m1·An－mnm练习2：计算 (1)6；(2)1！＋2·2！＋3·3！＋?＋n·n！.(3)；(4). －A10－A105A88－A95An－1n1－－A95＋A945A94＋A946A943[解析] (1)方法一：6＝＝. 4＝A10－A10550A94－10A9440A9209！9！＋4！5！A9＋A95×9！＋9！6×9！3方法二：6＝＝＝. 5＝A10－A1010！10！5×10！－10！4×10！20－4！5！54(2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n! 第4页/共12页