高三数学空间向量与立体几何章末复习题5

3.1.5 空间向量的数量积

课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用．

1．两向量的夹角

→→

如图所示，a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA＝a，OB＝b，则__________叫做向量a与向量b的夹角，记作__________．

π

如果〈a，b〉＝，那么向量a，b______________，记作__________．

2

2．数量积的定义

已知两个非零向量a，b，则____________叫做向量a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝__________.

零向量与任一向量的数量积为0. 特别地，a·a＝|a|·|a|cos〈a，a〉＝________. 3．数量积的运算律

空间向量的数量积满足如下的运算律： (λa)·b＝λ(a·b) (λ∈R)； a·b＝b·a； a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．数量积的坐标运算

若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a·b＝________________；

(2)a⊥b?__________?____________________________； (3)|a|＝a·a＝______________；

(4)cos〈a，b〉＝____________＝_________________________________________.

一、填空题

1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的____________条件． 2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.

3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝29且λ>0，则λ＝________.

4．若a、b、c为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求的序号) ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若a·b＝a·c，则b＝c； ③(a·b)·c＝(b·c)·a＝(c·a)·b；

④若|a|＝2|b|，且a与b夹角为45°，则(a－b)⊥b.

5．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a与b成120°角，则k＝________.

→→→

6.设O为坐标原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运

→→

动，则当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标为________．

7．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a和b的夹角为____________．

π

8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.

3

二、解答题

9.

如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.

10.在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且MB＝2AM，

1

CN＝ND，求MN.

2

能力提升 11.

如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．

12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A

的中点分别为P、Q.

(1)求BQ的长；

→→→→→→→→

（2）求cos〈BQ，CB1〉，cos〈BA1，CB1〉，并比较〈BQ，CB1〉与〈BA1，CB1〉的大小；

→→

(3)求证：AB1⊥C1P.

1．数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算．选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便．

2．利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角．

3．1.5 空间向量的数量积

知识梳理

1．∠AOB 〈a，b〉 互相垂直 a⊥b 2．|a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 |a|2

224．(1)a1b1＋a2b2＋a3b3 (2)a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (3)a1＋a22＋a3

a1b1＋a2b2＋a3b3a·b

(4) 22222 |a||b|a2＋a＋ab＋b＋b123123

作业设计

1．充分不必要

解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b时，不能成立． 2.13

解析 ∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2 ＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝13. 3．3

解析 ∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)， ∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．

∵|λa＋b|＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3. 4．④

解析 两个向量的等价条件是模长相等且方向相同， 故命题①错；

a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，而a·c＝|a|·|c|·cos〈a，c〉，

于是由a·b＝a·c推出的是|b|cos〈a，b〉＝|c|·cos〈a，c〉，故命题②错；向量的数量积运算不满足结合律，

故命题③错；(a－b)·b＝a·b－b2＝b2－b2＝0，故命题④正确． 5．－39

解析 cos〈a，b〉＝

a·b

＝|a|·|b|

2k131

＝－，得k＝±39.又k<0，所以k＝－39.

2

9＋k2

〈a，b〉＝

〈a，b〉＝0，但当a与b反向