2018年中考数学真题分类汇编（第三期）专题31点直线与圆的位置关系试题

∵∠G=∠G，

∴△GDB∽△GAD，设BG=a． ∴

=

=

=，

∴DG=2a，AG=4a， ∴BG：GA=1：4．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）求证：∠EDF=∠DAC．

（1）解：

连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°． ∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．

∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA=AM=

OM=

．

，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣

﹣

=3π﹣

； =，

∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3

30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=

（2）证明：连接OD，

∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD． ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD． ∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；

（3）证明：连接BE，

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC． ∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC． ∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC． ∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC． ∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．

∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．

6.（2018·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF． （1）求证：AD⊥ED；

（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED； （2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OC∥AD， ∵ED切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∴AD⊥ED；

（2）解：OC交BF于H，如图， ∵AB为直径， ∴∠AFB=90°，

易得四边形CDFH为矩形， ∴FH=CD=4，∠CHF=90°， ∴OH⊥BF， ∴BH=FH=4， ∴BF=8， 在Rt△ABF中，AB=∴⊙O的半径为

．

=

=2

，

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理． 7.（2018·云南省曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC． （1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若PC=

，求四边形OCDB的面积．

【解答】解：（1）PM与⊙O相切． 理由如下：

连接DO并延长交PM于E，如图，

∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合， ∴OC=DC，BO=BD， ∴OC=DC=BO=BD， ∴四边形OBDC为菱形， ∴OD⊥BC，

∴△OCD和△OBD都是等边三角形， ∴∠COD=∠BOD=60°， ∴∠COP=∠EOP=60°， ∵∠MPB=∠ADC， 而∠ADC=∠ABC， ∴∠ABC=∠MPB， ∴PM∥BC， ∴OE⊥PM， ∴OE=OP， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴OC=OP， ∴OE=OC， 而OE⊥PC， ∴PM是⊙O的切线； （2）在Rt△OPC中，OC=

PC=

×

2

=1，

．

∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××1=