2018年中考数学真题分类汇编（第三期）专题31点直线与圆的位置关系试题

（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．

【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线 ∴∠ABC=90° ∵DC⊥BC ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD ∵AB是⊙M的直径 ∴∠AGB=90° 即：BG⊥AE ∴∠CBD=∠A ∴△ABE∽△BCD

（2）解：过点G作GH⊥BC于H

∵MB=BE=1 ∴AB=2 ∴AE=

由（1）根据面积法 AB?BE=BG?AE ∴BG=

由勾股定理： AG=

，GE=

∵GH∥AB ∴

∴

∴GH= 又∵GH∥AB

①

同理：①+②，得

∴∴CD=

【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．

3. （2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM． （1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．

②

【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；

（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可． 【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， ∵GD⊥AO于点D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB为直径，

∴∠ACB=90°， ∵M点为GE的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1， ∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM， ∴CM为⊙O的切线；

（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5，

而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G，

而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴

=

=

，即

=

=，

∴CE=4，EF=， ∴MF=ME﹣EF=6﹣=

．

4. （2018·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）若tanC=2，求的值．

【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG； （2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得问题；

【解答】（1）证明：连接AD.OD．

=

=

=，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴CD=BD， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴FG是⊙O的切线． （2）解：∵tanC=∴BD：AD=1：2，

∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠GDB=∠GAD，

=2，BD=CD，