线性代数复习资料

第一部分、复习纲要

1、行列式：掌握行列式的计算：①利用行列式的性质②按行（列）展开③利用已知特征值．

2、矩阵及其运算：熟练掌握矩阵的运算（线性运算及矩阵乘法），会用伴随矩阵求逆阵，知道矩阵分块的运算律．

3、矩阵的初等变换与线性方程组：熟练掌握用矩阵的初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法（包括求A?1B）；熟练掌握用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；会讨论带参数的方程组的解的情况．

4、向量组的线性相关性：熟悉一个向量能由一个向量组线性表示这一概念与线性方程组的联系；知道两向量组等价的概念；熟悉向量驵线性相关、线性无关的概念与齐次线性方程组的联系；会用初等变换求向量组的秩和最大无关组；掌握齐次方程组的秩与解空间的维数之间的关系，熟悉基础解系的求法；会求向量组生成的向量空间的维数，会求从旧基到新基的过渡矩阵及向量的一个基下的坐标．

5、相似矩阵及二次型：了解内积、长度、正交、规范正交基、正交阵、特征值与特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法，熟悉特征值的性质；知道矩阵相似、合同的概念及性质，熟悉二次型及其矩阵表示，掌握用正交变换把二次型化为标准型的方法；知道对称阵的性质、可对角化的条件，二次型的正定性及判别法等．

第二部分、典型题型

一、填空题

1、设4阶矩阵A的秩R(A)?2，S是齐次线性方程组Ax?0的解空间，则S的维数为_______，A的伴随矩阵A的秩是_____________．

2、 已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3，则A的迹trA?________，detA?________，

*

|A*?3A?2E|?_____________，

3、n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是_____________________________________.

对称阵A为正定的充分必要条件是_________________________________________.

?1??1??2??2??1??0??2??1??5???1?4、向量组?1???,?2???,?3???,?4???,?5???.它的秩是_________，一个最大无关组是

?2??0??3???1??3???????????1104??????????1?____________________________．

5、 实二次型f?x1?3x2?9x3?2x1x2?4x1x3的秩r? ，正惯性指数p? ，它是 定的．

222 1

?1?26、设A???0??0250000230??0??1，则|A|? ，A? ． 5??8?7、设n元线性方程组Ax?b的系数矩阵A的秩为r，若此方程组有解，则当 时，方程组有惟一解；当 时方程组有无穷多解． 8、矩阵C???A0?*C?______________． 的伴随矩阵??0B??1??3?????69、向量??2，??2，矩阵A???T，则A?______________．

???????3???1??10、设A为n阶矩阵（n≥2）,A为A的伴随阵，则当R(A)?n时，R(A*)时，R(A*)＝ _ _ ；当R(A)?n?1 时，R(A*)= ．

**

11、设3阶矩阵A的特征值为2,?1,3，B?E?2A（其中A是A的伴随矩阵），则B的行列式

*= ___；当R(A)?n?1

|B|?______．

?12?2????3?，并且A的列向量组线性相关，则t? ． 12、设A??4t?3?11????1??1??2??2??1??0??2??1??5???1?13、已知4维列向量组?1???,?2???,?3???,?4???,?5???.所生成的向量空间为V，则V

?2??0??3???1??3???????????1104??????????1?的维数dimV? _____．

二、解答题

31?12?513?41、设D?，D的(i,j)元的代数余子式记作Aij，求A31?3A32?2A33?2A34．

201?11?53?32、计算n阶行列式

x1?3 Dn?x2x2?3x2xnxnxn?32

x1x1

3、设行列式

3040

222 D?20?700 53?22

求第四行各元素余子式之和的值、

?112???500?????1004、设P???201?，???010?，并且AP?P?,求A．

?005??102??????202??200?????1005、设P??010?， ???010?，并且AP?P?，求A．

?001??002???????2x1?x2?x3??2,?6、非齐次线性方程组?x1?2x2?x3??,当?取何值时有解？并求出它的通解．

?x?x?2x??2.3?12x1?x3??,??7、非齐次线性方程组?4x1?x2?2x3???1,当?取何值时有解？并求出它的通解．

?6x?x?4x?2??3.3?12?18、设方阵A满足：A?A?2E?0，证明A及A?2E都可逆，并求A及(A?2E)

2?19、设n阶矩阵A和B满足AB?A?B，

?350??? （i）证明A?E为可逆矩阵；（ii）若A??120?，求B．

?002???10、已知向量

?1??2??3??4??0??2??1???1??1???，?2???，，?3???，????，

?1??a??1??6?????????021???????b?（a）问a，b取何值时，?不能由向量组?1,?2,?3线性表示？

（b）问a，b取何值时，?能由向量组?1,?2,?3线性表示？并且写出其一般表示式．

?1??1??1??2?????????11、求向量组?1??3?，?2??2?，?3???1?，?4??1?的一个最大无关组与秩，并把其余向量用最

?2??3??1??3?????????

3

大无关组线性表示．

22212、已知二次型为 f?2x1?3x2?3x3?4x2x3

(1)写出二次型f的矩阵表达式；

(2)求一个正交变换x?Py，把二次型f化为标准形，并写出该标准形． 13、 问a,b为何值时,线性方程组 ?x?x?x?x?0,1234 ?x2?2x3?2x4?1,? ??x?(a?3)x3?2x4?b, ?2? ?3x1?2x2?x3?ax4??1.?并在有无穷多解时求其通解． 有惟一解、无解或有无穷多解 14、若矩阵

?220? ?? A??82a??006? ??

相似于对角阵?,试求常数a的值,并求可逆矩阵P，使P?1AP??． 4