高三数学集合与简易逻辑专题

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§1.2．常用逻辑用语

一、知识导学

1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“?”“?”“?”表示. 2．命题：能够判断真假的陈述句． 3．简单命题：不含逻辑联结词的命题

4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p

5．四种命题的构成：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.

6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” .

7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真 .

8．充分条件与必要条件 ：

①pq ：p是q的充分条件；q是p的必要条件； ②pq ：p是q的充要条件 .

9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“?” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.

10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“?”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.

二、疑难知识导析 1．基本题型及其方法

（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；

（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；

（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题

的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系； 方法：利用定义

（5）证明p的充要条件是q；

方法：分别证明充分性和必要性

（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一. 注：常见关键词的否定： 关键词 否定 是 都是（全是） ?（?） 至少有一个 至多有一个 任意 存在 不是 不都是（全是） ?（?） 一个也没有 至少有两个 存在 任意 2．全称命题与特称命题的关系：

全称命题p:?x?M,p(x),它的否定?p:?x?M,?p(x)；特称命题p:?x?M,p(x),它的否定

?p:?x?M,?p(x)；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可

以通过“举反例”来说明. 三、经典例题导讲

[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题. 错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.

逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.

否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.

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逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.

错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.

正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.

逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.

[例2] 将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.

错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.

错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x的值增加而增加，其否命题为若a?o时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.

正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.

否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.

原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加. 否命题为： 当x增加时，若a?o，则函数y=ax+b的值不增加. [例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足a?b?2h，命题乙为：两个实数a、b满足a?1|?h且b?1|?h，那么

A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 错解：a?b?2h?(a?1)?(b?1)?2h?h?h?|a?1|?h,|b?1|?h 故本题应选C.

错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；

（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.

???h?a?1?h?a?1?h, 所以?正解：因为?,

???h?b?1?h?b?1?h两式相减得?2h?a?b?2h 故a?b?2h

即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.

??a?2?h由于?

??b?2?h同理也可得a?b?2h

因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B. [例4] 已知命题甲：a+b?4, 命题乙:a?1且b?3，则命题甲是命题乙的 .

错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.

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错因 ：对命题的否定不正确.a?1且b?3的否定是a=1或b=3.

正解：当a+b?4时,可选取a=1,b=5，故此时a?1且b?3不成立(?a=1). 同样，a?1,且b?3时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4. 因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.

注：a?1且b?3为真时，必须a?1,b?3同时成立. [例5] 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析：本题考查简易逻辑知识.

因为p?r?s?q但r成立不能推出p成立，所以p?q,但q成立不能推出p成立，所以选A 解：选A

[例6] 已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)

222

① mx－4x＋4＝0 ② x－4mx＋4m－4m－5＝0 求方程①和②都有整数解的充要条件.

解：方程①有实根的充要条件是??16?4?4?m?0,解得m?1.

方程②有实根的充要条件是??16m2?4(4m2?4m?5)?0，解得m??5. 4??5?m?1.而m?Z,故m=－1或m=0或m=1. 4当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；

当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m=1.

[例7] 用反证法证明：若a、b、c?R，且x?a?2b?1，y?b2?2c?1，z?c?2a?1，则x、

22y、z中至少有一个不小于0.

证明： 假设x、y、z均小于0，即：

x?a?2b?1?0----① ； y?b?2c?1?0----② ； z?c?2a?1?0----③；

①+②+③得x?y?z?(a?1)2?(b?1)2?(c?1)2?0， 这与(a?1)2?(b?1)2?(c?1)2?0矛盾， 则假设不成立，

222 ∴x、y、z中至少有一个不小于0.

[例8] 已知命题p:方程x＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若

“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.

2

2

???m2?4?0解： 若方程x＋mx＋1=0有两不等的负根，则?解得m＞2，

?m?02

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即命题p：m＞2

2

若方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实根，

22

则Δ＝16(m－2)－16＝16(m－4m＋3)＜0 解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.

因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真， 又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，

因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.

?m?2?m?2∴? 或??m?1或m?3?1?m?3解得：m≥3或1＜m≤2. 四、典型习题导练

1．方程mx?2x?1?0至少有一个负根，则（ ） A.0?m?1 或m?0 B.0?m?1 C.m?1 D.m?1

22．“x?3x?2?0”是“x?1或x?4”的（ ）

2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．三个数a,b,c不全为0的充要条件是 A.a,b,c都不是0.

（

）

B.a,b,c中至多一个是0. D.a,b,c中至少一个不是0.

C.a,b,c中只有一个是0.

4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _. 5．若a,b?R，试从

A.ab?0 B.a?b?0 C.a?b?0 D.ab?0 E.a?b?0 F.a?b?0 中，选出适合下列条件者，用代号填空：

（1）使a,b都为0的充分条件是 ； （2）使a,b都不为0的充分条件是 ；

（3）使a,b中至少有一个为0的充要条件是 ； （4）使a,b中至少有一个不为0的充要条件是 ．

6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假． （1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．

（2）p: 1是方程x?4x?3?0的解；q：3是方程x?4x?3?0的解．

22x?2x?1?0x?2x?2?1解集为（3）p: 不等式解集为R；q: 不等式

2

2

222222．

7．命题：已知a、b为实数，若x＋ax＋b≤0 有非空解集，则a－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、

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逆否命题，并判断这些命题的真假．

8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．

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