导数中含参数单调性及取值范围

应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题. 一．

含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方

2ax?a?1x?122法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.）

例1（2012西2）已知函数f(x)?，其中a?R．

（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在原点处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间．

（

a?1f(x)?2xx?12，

Ⅰ）解：当时，

f?(x)??2(x?1)(x?1)(x?1)22． ………………2分

由

f?(0)?2， 得曲线

y?f(x)在原点处的切线方程是

2x?y?0．…………3分

（Ⅱ）解：

f?(x)??2(x?a)(ax?1)x?12． ………………4分

① 当

a?0时，

f?(x)?2xx?12．所以f(x)在(0,??)单调递增，在(??,0)单调递减． ………………5分

1a)．

(x?a)(x?当

a?0，f?(x)??2ax?1，

2② 当

a?0时，令f?(x)?0，得x1??ax (??,x1) ?↘ x2?1a，

f(x)与f?(x)的情况如下：

(x1,x2) x20

x1 0 (x2,??)? ↘ f?(x) f(x) ? ↗

f(x1)f(x2)故

f(x)的单调减区间是(??,?a)，(1a,??)；单调增区间是(?a,1a)． ………7分

③ 当

a?0时，f(x)与f?(x)的情况如下：

x f?(x) f(x) (??,x2) x20 (x2,x1) ?↘ x1 0 (x1,??) ?↗ ? ↗ f(x2) f(x1)所以

f(x)的单调增区间是(??,1a)；单调减区间是(?1a,?a)，(?a,??)． ………………9分

a?0时不合题意． ………………10分

11当a?0时，由（Ⅱ）得，f(x)在(0,)单调递增，在(,??)单调递减，所以f(x)aa

12f()?a?0．

a（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 设

在

(0,??)上存在最大值

x0为f(x)的零点，易知x0?1?a2a2，且

x0?1．从而

ax?x0时，f(x)?0；

x?x0时，f(x)?0．

若

f(x)在[0,??)上存在最小值，必有f(0)?0，解得?1?a?1．

所以

a?0时，若f(x)在[0,??)时，由（Ⅱ）得，

上存在最大值和最小值，

a的取值范围是

(0,1]．…………12分

单调递增，所以

当

a?0f(x)在

(0,?a)单调递减，在

(?a,??)f(x)在

(0,??)上存在最小值

f(?a)??1．

若

f(x)在[0,??)上存在最大值，必有f(0)?0，解得a?1，或a??1．

所以

a?0时，若f(x)在[0,??)上存在最大值和最小值，

a的取值范围是

(??,?1]．

综上，

a的取值范围是(??,?1]?(0,1]． ………………14分

例2 设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a?-1，求f(x)的单调区间. 【解析】由已知得函数

（1）当

f(x)的定义域为(?1,??)，且f'(x)?ax?1x?1(a??1),

?1?a?0时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,??)上单调递减， a?0时，由f'(x)?0,解得x?1.

a（2）当

f(x)、f(x)随

'x的变化情况如下表

(?1,1a) 1a0 x f(x) f(x) '1(,??) a+ — ?x?(?1,' 极小值 ? 从上表可知 当

11')时，f(x)?0,函数f(x)在(?1,)上单调递减.

aa1a,??)上单调递增.

当

x?(1a,??)时，f(x)?0,函数f(x)在(综上所述：当

1?1?a?0时，函数f(x)在(?1,??)上单调递减.当a?0时，函数f(x)在(?1,)上单调递减，函数f(x)a在(1a,??)上单调递

增.

已知函数f(x)?x?22ax3?1,其中a?0.

（I）若曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线与直线y?1平行，求a的值； （II）求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.

解：

f?(x)?2x?2ax23?2(x?a)x233，

x?0. .........................................2分

（I）由题意可得

3f?(1)?2(1?a)?0，解得

a?1， ........................................3分

此时

f(1)?4，在点(1,f(1))处的切线为

y?4，与直线y?1平行

故所求

a值为1. ........................................4分

， ........................................ 5分

（II）由

f?(x)?0可得x?a，a?0在

①当

0?a?1时，f?(x)?0(1,2]上恒成立 ， 所以y?f(x)在[1,2]上递增， .......6分

3所以

f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)?2a?2时，

. ........................................7分

②当

1?a?2x (1,a) － a 0 (a,2)＋ f?(x) ....................................10分

f(x) 由上表可得

极小 y?f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)?3a?1 . ......................................11分

f?(x)?0在[1,2)上恒成立，

2③当

a?2时，

所以

y?f(x)在[1,2]上递减 . ......................................12分 f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)?a?50?a?1时， y?f(x)23所以 . .....................................13分

综上讨论，可知：当在

3[1,2]上的最小值为f(1)?2a?2； 当1?a?2时，

y?f(x)在

[1,2]上

的最小值为

f(a)?3a?1；当a?2时，

y?f(x)在

3[1,2]上的最小值为f(2)?a?5.

练习 1 已知函数f(x)?alnx?（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

12x?212(a?R且a?0). (2012海淀一模）

（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的x??1,???，都有f(x)?0？若存在 ，求a的

取值范围；若不存在，请说明理由. 2（2012顺义2文）（.本小题共14分）

已知函数f(x)?(a?1)x2?2lnx,g(x)?2ax,其中a?1 （Ⅰ）求曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程; （Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求h(x)的单调区间. 3（2012朝1）18. （本题满分14分） 已知函数f(x)??ax2?1??ex,a?R.

（Ⅰ）若函数f(x)在x?1时取得极值，求a的值； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间.

二参数范围

有单调性时分离常数法

例（东2）已知函数f(x)??122x?2x?aex.

（Ⅰ）若a?1，求f(x)在x?1处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围.

解：1)由a?1，f(x)??12x，

2x?2x?ef(1)?32?e， ………1分

所以

f?(x)??x?2?ex. …………3分

又

f?(1)?1?e，

y?(3 所以所求切线方程为

2?e)?(1?e)(x?1)即2(1?e)x?2y?1?0. …………5分

（Ⅱ）由已知

f(x)??12x2?2x?aex，得

f?(x)??x?2?aex.

因为函数

f(x)在R上是增函数，

所以

f?(x)?0恒成立，即不等式 ?x?2?aex?0恒成立.………………9分

整理得a??x?2ex. 令g(x)??x?2ex,g?(x)?x?3ex. ………………11分