人教版高中数学选修4-4练习：第二讲一第2课时圆的参数方程 Word版含解析

1

则圆心到直线l的距离为d＝＝， 2

1＋（3）2所以|AB|＝2

?1?2

1－?2?＝3，

??

|1－3×0－2|

因此|AB|的值为3.

10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

?π??轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈0，2?. ??

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

??x＝1＋cos t，

可得C的参数方程为?(t为参数，0≤t≤π)．

??y＝sin t

[来源:学科网]

(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．

因为C在点D处的切线与l垂直，

π

所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝.

3

?3?ππ?3?

故D的直角坐标为?1＋cos3，sin 3?，即?，?.

??2??2

B级 能力提升

??x＝1＋cos θ，

1．已知点P(x，y)在曲线C：?(θ为参数)上，则x

??y＝sin θ

－2y的最大值为( )

A．2 C．1＋5

B．－2 D．1－5

??x＝1＋cos θ，

解析：由题意，得?

??y＝sin θ，

所以x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ)＝

?2?1?1?

1－5?sin θ－cos θ?＝1－5sin(θ－φ)?其中tan φ＝2?，

??5?5?

所以x－2y的最大值为1＋5. 答案：C

??x＝－3＋2sin θ，

2．已知圆C：?(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴

?y＝2cos θ?

交于A，B两点，则|AB|＝________．

解析：令y＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)， π3πππ

故θ＝或，当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－1，

22223π3π

当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－5，

22故|AB|＝|－1＋5|＝4. 答案：4

3．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点

??x＝x1，

(x，y)，依题意，得?

?y＝2y1.?

[来源:学,科,网Z,X,X,K][来源:Zxxk.Com]

由

2

x21＋y1＝1

?y?2

得x＋?2?＝1，

??

2

[来源:学科网ZXXK]

y2

即曲线C的方程为x＋＝1.

4

2

??x＝cos t，

故C的参数方程为?(t为参数)．

?y＝2sin t?

2

y?x2＋＝1，??x＝1，??x＝0，4(2)由?解得?或?

??y＝0y＝2.??

?2x＋y－2＝0，

?1???，，1不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为2??

1

所求直线斜率为k＝，

2

1?1?

于是所求直线的方程为y－1＝?x－2?，

2??

[来源:学#科#网]

化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝

3

为过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极

4sin θ－2cos θ

坐标方程．