第一讲 多元函数微分学及其应用

15.已知函数

z?f(x,y)的全微分

dz?2xdx?2ydy并且

f(1,1)?2，求

f(x,2??y2y)在椭圆域D??(x,y)x?4?1?上的最大之和最小值。

??x?0,y?0,z?0u?lnx?2lny?3lnz16.设时，求函数

面

在球

x?y?z23222?6r)62上的最大值；并证明对任意的正数

a,b,c不等式

abc?108(a?b?c6成立

x17.在平面

a?yb?zc?1与三个坐标面所围成的四面体内，作一个以该平面为顶面，在

xoy坐标面的投影为长方

形（与AB相接）的六面体中体积之最大者（其中

a,b,c?05

）

18.试证曲面

xyz?ax223的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。

19.在第一卦限内作椭圆

a?x2yb?22?2zcz22?1的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小.求切点

坐标，并求此最小体积。

u(x,y,z)?1?20．设函数

u?xx?y?z22y26212?18,单位向量n?13?1,1,1?，则?n?u(1,2,3)=

21. 求函数在点

M0(1,2,?2)沿曲线

4在此点切线方向上的方

x?t,y?2t,z??2t向导数。

222.问函数

u?xyz在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。

坐标面，其底部所占的区域

2xoy23.设有一小山，取它的地面所在的平面为

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D?(x,y)x?y?xy?752?22?，小山的高度函数为

h(x,y)?75?x?y?xy（1） 设

2。

M(x0,y0)为区域D上的一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数

0000的最大值为，试写出的表达式。

（2） 现欲利用此小山攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登起点，也就是说，要D的边界线

g(x,y)2g(x,y)x?y?xy?75

2g(x,y)上找出使（1）中的达到最小值的点，试确定攀登起点的位置。

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