2018-2019学年广东省广州市天河区高一(上)期末数学试卷

又由0＜x1＜x2＜1，

则（x1-x2）＜0，（1-x1x2）＞0，

则有f（x1）-f（x2）＜0，则函数f（x）在（0，1）上为增函数． 【解析】

（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=

=0，则n=0，又由f（2）=

=，

解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案； （2）根据题意，设0＜x1＜x2＜1，由作差法分析可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．

19.【答案】（本题满分为12分）

解：（1）f（x）的最小正周期为T==4π；…（4分） 令+2kπ≤

≤+2kπ，k∈Z，解得：+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，

可得单调递减区间为：[+4kπ，+4kπ]，k∈Z． （2）列表如下： x y 0 - 0 2 π -2 2π 0 0 连线成图如下：

【解析】

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（1）利用正弦函数的图象和性质即可求出f（x）的最小正周期与单调减区间； （2）列表如下，作出它在[0，4π]上的简图即可；

本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．

20.【答案】解：（Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx（x＞0），

由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x， 投资股票类风险型产品的收益满足函数：（x＞0）， 由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即， （Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x万元（0≤x≤20），则投资股票类风险型产品20-x万元， 由题知总收益（0≤x≤20），

2

令（），则x=20-t，

，

当t=2，即x=16时，ymax=3（万元）

答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元． 【解析】

（Ⅰ）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元（0≤x≤20），则投资股票类风险型产品20-x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．

函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．

21.【答案】解：∵=（2cosx，1），=（sinx+cosx，-1），

∴f（x）==2

=2cosx（

sinx+cosx）-1

sinxcosx+2cos2x-1

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==2sin（2x+）.

（1）∵x∈[0，]， ∴∴-，

，

∴函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为-1； （2）若f（x0）=，则2sin（2x0+）=， ∴sin（2x0+）=， ∵x0∈[

]，

∴cos（2x0+）=-， ∴cos2x0=cos[（2x0+）-]==

=

；

（3）∵y=f（ωx）=2sin（2ωx+）， 令-可得，令k=0可得，

≤2ωx+

，k∈z， ， ，

）上是单调递增函数，

∵y=f（ωx）=2sin（2ωx+）在区间（∴

，解可得，0＜ω≤．

【解析】

由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求f（x）=2sin（2x+）. （1）由x∈[0，]，结合正弦函数的性质可求函数f（x）在区间[0，]上的最大值及最小值；

（2）若f（x0）=，可求2sin（2x0+），结合同角平方关系可求cos（2x0+），然后由cos2x0=cos[（2x0+）-]，利用两角差的余弦公式即可求解；

（3）由y=f（ωx）=2sin（2ωx+），结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然

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后与区间（）进行比较可求．

本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．

22.【答案】解：（1）函数g（x）=ax2-2ax+b+1=a（x-1）2+1+b-a，

因为a＞0，所以g（x）在区间[-1，1]上是减函数， 故g（-1）=3a+b+1=4，g（1）=1+b-a=0， 解得a=1，b=0；

22

（2）由f（x）-k?x≥0即为x-2x+1-kx≥0，

2

即为k≤（-1）在x＞0恒成立，

2

由（-1）≥0，当且仅当x=1时取得最小值0，

所以k的取值范围是（-∞，0]；

x

（3）方程f（|2-1|）+k?

-3k=0可化为：

|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+（1+2k）=0，|2x-1|≠0，

x

令|2-1|=t，则方程化为

t2-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）， ∵方程f（|2-1|）+k??

x

2

k

-3k=0有三个不同的实数解，

∴由t=|2-1|的图象知，t-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）， 有两个根t1、t2，

且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．

2

记h（t）=t-（2+3k）t+（1+2k），

则，或，

∴k＞0． 【解析】

2

（1）由函数g（x）=a（x-1）+1+b-a，a＞0，所以g（x）在区间[-1，1]上是减函数，

故g（-1）=4，g（1）=0，由此解得a、b的值； （2）不等式可化为k≤（

-1）2在x＞0恒成立，由平方数非负可得不等式右边的

最小值，从而求得k的取值范围；

x

（3）方程f（|2-1|）+k?

-3k=0?|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+（1+2k）=0，（|2x-1|≠0），

x22

令|2-1|=t，则t-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t-（2+3k）t+（1+2k），

通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．

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