《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课时作业24

于是左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2，右边＝1＋(k＋1)x.

∵kx2>0，∴左边>右边，即(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x. 这就是说，当n＝k＋1时原不等式也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数都成立． 111

12．已知Sn＝1＋2＋3＋…＋n(n>1，n∈N*)． n

求证：S2n>1＋2(n≥2，n∈N*)．

111252

证明 (1)当n＝2时，S2n＝1＋2＋3＋4＝12>1＋2，即n＝2时命题成立．

(2)设n＝k时命题成立，即

111k

S2k＝1＋2＋3＋…＋2k>1＋2，当n＝k＋1时， 11111

S2k＋1＝1＋2＋3＋…＋2k＋k＋…＋k＋1 2＋12

k111k2kk1

>1＋2＋k＋k＋…＋k＋1>1＋2＋k＝1＋2＋2＝1＋2＋12＋222＋2k

k＋1

2，故当n＝k＋1时，命题成立．

n

由(1)(2)知，对n∈N，n≥2，S2n>1＋2等式都成立．

*

?重点班·选做题

111a13．若不等式＋＋…＋>对一切正整数n都成立，

n＋1n＋23n＋124求正整数a的最大值，并证明你的结论．

分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n，不等式都成立．

111a26a

解析 当n＝1时，＋＋>，即24>24，

1＋11＋23＋124∴a<26，又a∈N，∴取a＝25，下面用数学归纳法证明： 11125＋＋…＋>. n＋1n＋23n＋124(1)当n＝1时，已证．

11125(2)假设当n＝k时，＋＋…＋>24成立．

k＋1k＋23k＋1当n＝k＋1时，有

11111

＋＋…＋＋＋＋

?k＋1?＋1?k＋1?＋23k＋13k＋23k＋31

3?k＋1?＋1

?111??1111?＝?k＋1＋k＋2＋…＋3k＋1?＋?3k＋2＋3k＋3＋3k＋4－k＋1? ????

25112>24＋＋－.

3k＋23k＋43?k＋1?

1122∵＋－＝>0， 3k＋23k＋43?k＋1?3?k＋1??3k＋2??3k＋4?11125∴＋＋…＋>也成立． ?k＋1?＋1?k＋1?＋23?k＋1?＋124

11由(1)、(2)可知，对一切正整数n，都有不等式＋＋…＋

n＋1n＋2125

>成立． 3n＋124

∴a的最大值25.