《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课时作业24

课时作业(二十四)

一、选择题

111

1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋1)第

2n－1一步验证n＝2时，左边计算所得项为( )

A．1 B．1＋1

2 C.13 D．1＋11

2＋3 答案 D

解析 当n＝2时，左边最后一项为11

22－1

＝3. 2．设f(n)＝1111

2＋3＋4＋…＋2n－1，则f(k＋1)－f(k)等于( A.12k＋1－1

B.1112k＋2k＋1＋2k＋1－1 C.112k＋2k＋1－1

D.11112k＋2k＋1＋2k＋2＋…＋2k＋1－1

答案 D

解析 n＝k时，f(k)＝1＋1112＋3＋…＋2k－1

.

n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋1111

2＋3＋…＋2k－1＋2k＋…＋

1

2k＋1－1

.

)

111

∴f(k＋1)－f(k)＝2k＋＋…＋.

2k＋12k＋1－1

3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( )

A．P(n)对所有正整数n都成立 B．P(n)对所有正偶数n都成立 C．P(n)对所有正奇数n都成立 D．P(n)对所有自然数n都成立 答案 B

4．用数学归纳法证明恒等式

11111111

1－2＋3－4＋…＋－2n＝＋＋…＋2n. 2n－1n＋1n＋2由n＝k到n＝k＋1时，两边应同时加上( ) 1

A. 2k＋11C. 2?k＋1?答案 D

5．若凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为( )

A．f(n)＋n＋1 C．f(n)＋n－1 答案 C 二、填空题

11111

6．设S(n)＝n＋＋＋＋…＋n2，则S(n)有________

n＋1n＋2n＋3项，S(2)＝________.

B．f(n)＋n D．f(n)＋n－2 1

B．－

2k＋111D.－ 2k＋12k＋2

13

答案 n2－n＋1；12

an－am

解析 应用等差数列通项公式的变形公式：d＝即得项数；

n－m11113S(2)＝2＋3＋4＝12. 7．用数学归纳法证明3n>n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________． 答案 n＝3时是否成立

解析 n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立． 111118．用数学归纳法证明22＋32＋…＋>－.假设n＝k时，

?n＋1?22n＋2不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．

1111111

答案 22＋32＋…＋k2＋＋>－

?k＋1?2?k＋2?22k＋3

1111

解析 观察不等式中的分母变化知，22＋32＋…＋k2＋＋

?k＋1?2111

>－. ?k＋2?22k＋3

三、解答题

9．用数学归纳法证明

11112(1－3)(1－4)(1－5)…(1－)＝(n∈N*)．

n＋2n＋2

1222

证明 (1)当n＝1时，左边＝1－3＝3，右边＝＝3，等式成

1＋2立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即 11112(1－3)(1－4)(1－5)…(1－)＝.

k＋2k＋2当n＝k＋1时，

11111(1－3)(1－4)(1－5)…(1－)(1－) k＋2k＋32?k＋2?212

＝(1－)＝＝. k＋2k＋3?k＋2??k＋3?k＋3所以当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．

10．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋52－…＋(2n－1)2－(2n)2

＝－n(2n＋1)(n∈N*)．

解析 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．

(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2

－(2k)2＝－k(2k＋1)．

当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－ [2(k＋1)]2

＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]． 即当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对任意n∈N*，等式成立． 11．已知x>－1，且x≠0，n∈N*，且n≥2. 求证：(1＋x)n>1＋nx.

证明 (1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x. ∵x2>0，∴原不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx. 当n＝k＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0.