1.6公倍数与最小公倍数

1.6 公倍数与最小公倍数

教学目标

1．通过解决实际问题的活动，理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法。

2．经历分析数量关系、观察和讨论的过程，进一步体会公倍数、最小公倍数的意义，会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最小公倍数；会求是互素数或有倍数关系的两个数的最小公倍数，体会选择适当方法解决问题的优化思想，锻炼分析问题和解决问题的能力。

3. 在积极思考、积极参与讨论的活动中，自觉改进学习，促进良好学习习惯的养成和沟通、交流能力的提高。 重点、难点

会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最小公倍数 教学过程

一、复习旧知，巩固旧识

1.判断题：

（1）两个数有公因数1，这两个数一定互素（×） （2）互素的两个数，一定都是素数（×） （3）一个素数和任意一个数都互素（×） （4）相邻的两个正整数一定互素（√）

（5）几个数的最大公因数就是它们所有公共素因数的乘积(√)

2.已知甲数=2×3×5×m,乙数=2×3×7×m，甲乙两数的最大公因数是30，则m=__5__.

3.若两个数的积是360，它们的最大公因数是6，则这两个数为_6与60，12与30_

二、创设情景，引入新课

问题的提出：在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6：00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？

问题的分析：早晨6点以后地铁1号线发车间隔的时间（分钟）是3的倍数，

1

而轨道交通3号线发车的时间（分钟）是4的倍数，这个问题可以转化为求3和4的最小公倍数。

师（启发式）：谁能用自己的话说一说什么叫公倍数？ 问题的答案：

3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，24，27… 4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，36，40… 3和4公有的倍数有：12，24…其中最小的一个是12

3152161827...91224...4203682840...163和4公有的倍数所以12分钟后地铁1号线和轨道3号线再次同时发车。 三、新知识的探索

几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

例题1 求18和30的最小公倍数.

（这个题可以让学生先做，在上个问题的分析的基础上，学生对这个问题会很感兴趣，可以采取比赛的方法）

解法1： 18的倍数有18，36，54，72，90，…； 30的倍数有 30，60，90，120，160，….

所以18和30的最小公倍数是90。

拓展：有没有更快捷的方法呢？ 解法2： 把18和30分解素因数 18=2×3×3 30=2×3×5

探究：18和30的公倍数里，应当既包含18 的所有素因数，又包括30的所有素因数，但相同的素因数可以只取一个，只要取出18，30的所有公有的素因

2

数（1个2和1个3），再取各自剩余的素因数（3和5），将这些数连乘，所得的积2×3×3×5（90）就是30和18的最小公倍数。

这个方法学生比较容易接受

归纳：求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得得积就是这两个数的最小公倍数。

拓展：我们在求两个数的最大公因数的时候，学会了用短除法求两个数的最大公因数，在求最小公倍数时可以运用短除法吗？

解法3

23189330155用公有的素因数2 除 用公有的素因数3 除 除到两个商互素为止18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90

由短除法的计算过程，请同学们思考用短除法求两个正整数的最大公因数和最小公倍数有什么相同点和不同点？有什么发现？（请学生归纳）

答：相同点：都要短除到两个数互素为止

不同点：求两个正整数的最大公因数是把这两个整数的所有公有的素因

素相乘，所得的积就是最大公因数；

求两个正整数的最小公倍数除了需将这两个整数的所有公有的

素因数相乘外，还需将这两个数剩余的所有素因数全部连乘，所得的积才是这两个整数的最小公倍数。

我们可以发现两个正整数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的

倍数。

四、巩固加深

课堂练习

1．求36和84的最小公倍数

在解这个题的时候，不要说明用哪一个方法好，学生们会在摸索的时候发现短除法的优势。

解：

3

2233618938442217用公有的素因数2 除 用公有的素因数2 除 用公有的素因数3 除 除到两个商互素为止36和84的最小公倍数是2×2×3×3×7=252

2．求30和45的最大公因数和最小公倍数

在解这个题的时候，也是不要说明用哪一个方法好，学生们会在摸索的时候发现短除法的优势，他们开始理解这个方法

30和45的最大公因数是3×5=15 30和45的最小公倍数3×3×2×5=90

四、找规律

观察： （1）3和15的最小公倍数是 ；

（2）18和36的最小公倍数是 ； （3）8和9的最小公倍数是 ； （4）8和15的最小公倍数是

通过求这四组数中的最大公因数，你发现了什么规律？

规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数，如果两个数互素，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。 五、归纳总结

如何求两个正整数的最小公倍数？

（1）列举法：分别从小到大依次写出两个数的一部分倍数，再找出公有的倍数中最小的一个就是最小公倍数。

（2）分解素因数法：分别把两个数分解素因数，找出它们所有公有的素因数，取这些公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

4

353010245153用公有的素因数3 除 用公有的素因数5 除 除到两个商互素为止（3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数和商的乘积就是这两个数的最大公因数

（4）特征法：如果两个数是互素，它们的最小公倍数是它们的乘积；如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 六、知识拓展

如何求三个数的最小公倍数的方法？（自制PPT）

用分解素因数法和短除法求三个数的最小公倍数。用短除法求三个数的最小公倍数和求两个数的最小公倍数的方法有所不同。一般步骤如下：

（1） 先用三个数的公因数去除，除到三个数的商互素为止； （2） 再用每两个数的公因数去除，除到三个数的商成为两两互素 （任意的两商都互素）为止；

（3） 把这些除数和商相乘，所得的积就是所求的最小公倍数。 【例】求12，14，16的最小公倍数。

练习：①两个正整数的最大公因数是15，最小公倍数是90，那么这两个数

可能是__15与90或30和45________

②有一筐桃子，若5个5个地数，6个6个地数，8个8个地数，结果

都多1个，问这框桃子至少有多少个？（121）

七、布置作业

1．习1.5 2．复习所学的知识 3．预习新课

5