北京市海淀区2013年高三一模(文科)数学题2013.4

12．4 13． a?4 14．2, 2

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）

π312f()?2?(3??)?13223sinx?cosx)2………………2分

因为f(x)?2?(

…

? 2?(3sin2x?cos2x?23sinxcosx)?2?(1?2sin2x?3sin2x)……………4分

? 1?2sin2x?3sin2x?cos2x?3sin2x

………………6分

π= 2sin(2x?)6………………8分所以 f(x)的周

期为

T?2π2π??π|?|2………………9分 时，

π2π2x?[?,]33（II）当

?ππx?[?,]63x??，

ππ5π(2x?)?[?,]666

所以当

f(?)??16?6时，函数取得最小值

x?………………11分当

?6时，函数取得最

大值

f()?26?………………13分

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

高三数学（文科）试题第9页（共15页）

所以该考场有10?0.25?40人………………2分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

40?(1?0.375?0.375?0.15?0.025)?40?0.075?3………………4分

（II）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1?(40?0.2)?2?(40?0.1)?3?(40?0.375)?4?(40?0.25)?5?(40?0.075)?2.940………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A………………9分

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

??{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，

丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件 ………………11分

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则中点，

所以BM?AC,即BD?AC………………1分

高三数学（文科）试题第10页（共15页）

P(B)?16. ………………13分

17.解：（I）证明：(I) 因为?ABC是正三角形，M是AC

又因为PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，

PA?BD………………2分

AC?A又PAI，所以BD?平面PAC………………4分

又PC?平面PAC，所以BD?PC………………5分 （Ⅱ）在正三角形ABC中，BM?23………………6分 在?ACD，因为M为AC中点，DM?AC，所以AD?CD

?CAD?30o23BM:MD?3:1………………8DM?，所以，，所以3分

所以BN:NP?BM:MD，所以MN//PD………………9分 又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所 以MN//平面

PDC………………11分

（Ⅲ）假设直线l//CD，因为l?平面PAB， CD?平面PAB，所以CD//平面PAB………………12分 又CD?平面ABCD，平面PABI平面ABCD?AB，所以

CD//AB……………13分

这与CD与AB不平行，矛盾

所以直线l与直线CD不平行………………14分

18.解：（I）因为f'(x)?x当

k?42?k………………2分

，所以x21时，

f'(x)?x2?4，令

f'(x)?x2?4?0?2,x2??2

f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x ?2 (??,?2) (?2,2) (2,??) 高三数学（文科）试题第11页（共15页）

f'(x)f(x) ? 0 极大值 ?] 0 极小值 ? ZZ………………4分

所以f(x)的单调递增区间是(??,?2)，(2,??)

单调递减区间是(?2,2)………………6分 （II）令因为当当

g(x)?f(x)?k，所以

g(x)只有一个零

点………………7分

g'(x)?f'(x)?x2?k

，所以

g(x)k?0时，

g(x)?x3只有一个零点

0 ………………8分

k?0时，

g(x)g'(x)?x2?k?0对x?R成立，

g(x)所以当

k?0单调递增，所以

g'(x)?f'(x)?x2?k?0只有一个零

x1?k点………………9分

时，令

，解得

或

x2??k……………10分

(k,??)?所以g'(x),g(x)随x的变化情况如下表：

x (??,?k) ?k (?k,k) k g'(x)g(x) ? 0 极大值 ?] 0 极小值 k)?0 ZZg(x)有且仅有一个零点等价于g(?………………11

高三数学（文科）试题第12页（共15页）