复变函数与积分变换期末试题附有答案

四、（本题14分）将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；

z2(z?1)（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??

（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??

解：（1）当0?z?1?1

??1n]??[?(z?1)]???n(z?1)n?1 而[(1?(z?1)n?0n?0f(z)??n(z?1)n?2 --------6分

n?0?（2）当0?z?1

11f(z)?2=

z(z?1)z2??(?1)n?0?nzn

??(?1)zn?2 -----10分

n?0（3）当1?z??

1f(z)?3z?1n1n(?)?(?1)??n?3 --------14分 zzn?0n?0?五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题

得分 解：对y(x)的Laplace

变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有

s2L(s)?1?2sL(s)?3L(s)?整理得

1 …（5分） s?1 L(s)?s?2 …（7分）

(s?1)(s?1)(s?4)131y(x)??e?x?ex?e?3x …（10分）

488得分 六、（本题6分）求

?1t?1f(t)??的傅立叶变换，并由此证明：

t?10?解：F(?)??????e?i?tf(t)dt

F(?)??e?i?tdt -------2分

?11e??i??i?t1?i?1e?i??ei?? ? 2sin?? ----- 4分

1f(t)?2????????ei?tF(?)d? ----------- 5分

?0sin?cos?t?d???2f得分 ??t?12?(t)=??4t?1 --------------6分 ?0t?1?