复变函数与积分变换期末试题附有答案

复变函数与积分变换期末试题

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．

1?i3?的幅角是（??2k?,k?0,?1,?2?）；2.23Ln(?1?i)的主值是

113?i ）（ ln2?；3. f(z)?1?z224的（ 一级 ）极点；5． f(z)?，f(5)z?sinz(0)?（ 0 ），4．z?0是

z41，Res[f(z),?]?（-1 ）； z二．选择题（每题3分，共15分）

1．解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为（ ）；

（A）

f?(z)?ux?iuy； （B）f?(z)?ux?iuy；

（C）

f?(z)?ux?ivy； （D）f?(z)?uy?ivx.

2．C是正向圆周z?3，如果函数f(z)?（ ），则?f(z)dz?0．

C（A）

3(z?1)333(z?1)； （B）； （C）； （D）. (z?2)2(z?2)2z?2z?2ncz3．如果级数?nn?1?在

z?2点收敛，则级数在

（A）z??2点条件收敛 ； （B）z?2i点绝对收敛；

（C）z?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散．

４．下列结论正确的是( )

（A）如果函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；

(B) 如果f(z)在C所围成的区域内解析，则?Cf(z)dz?0 （C）如果

?Cf(z)dz?0，则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；

（D）函数

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、

v(x,y)在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ ）．

1(A) ?为sin的可去奇点；(B) ?为sinz的本性奇点；

z(C) ?为的孤立奇点;(D) ?为1的孤立奇点. 1sinzsinz1三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数，求a,b,c,d.

2222解：因为f(z)解析，由C-R条件

a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

ezdz其中C是正向圆周： （2）．计算?C2(z?1)z解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

ez因为函数f(z)?在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z2为圆心画2(z?1)z互

不

相

交

互

不

包

含

的

小

圆

c1,c2且位于c内

ez?C(z?1)2zdz??C1ezez(z?1)2zdzdz?? C2(z?1)2z无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

z15（3）．?dz

z?3(1?z2)2(2?z4)3解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?3内，由留数定理

z15?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz??2?iRes[f(z),?] -----（5分）

11?2?iRes[f()2] ----（8分）

zzz15??dz?2?i --------（10分）

z?3(1?z2)2(2?z4)3z(z2?1)(z?2)32(z?3)（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果

(sin?z)3有极点，请指出它的级.

z(z2?1)(z?2)3(z?3)2的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?解 ：f(z)?3(sin?z)（1）z?k,k3?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，

（2）z?0，z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点，

（3）z?3为f(z)的一级极点，

?2,?3,?4?，为f(z)的三级极点；

（4）z（5）?为f(z)的非孤立奇点。

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

1在以下区域内展开成罗朗级数；

z2(z?1)四、（本题14分）将函数f(z)?（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??

解：（1）当0?z?1?1

?1]??[?(?1)n(z?1)n]? 而[(z?1?1)n?0f(z)??(?1)n?1n(z?1)n?2 -------6分

n?0?（2）当0?z?1

111?f(z)?2??2=

z2z(z?1)z(1?z)?zn?0?n