课堂新坐标2016 - 2017学年高中数学第1章推理与证明1.1.1归纳推理学案

① ② ③

图1-1-9

【解析】 观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，?，故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an－1

n＝3×4

.

【答案】 3×4

n－1

4.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin2

13°＋cos2

17°－sin 13°cos 17°； ②sin2

15°＋cos2

15°－sin 15°cos 15°； ③sin2

18°＋cos2

12°－sin 18°cos 12°； ④sin2

(－18°)＋cos2

48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2

(－25°)＋cos2

55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【解】 (1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos2

15°－sin 15°cos 15°＝1－1132sin 30°＝1－4＝4. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2

(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.

证明如下：

sin2

α＋cos2

(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2

α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2

－ sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋3234cosα＋2sin αcos α＋12312

4sinα－2sin αcos α－2sinα

＝34sin2α＋323

4cosα＝4.

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