当前位置：首页 > 课堂新坐标2016 - 2017学年高中数学第1章推理与证明1.1.1归纳推理学案
§1 归纳与类比 1.1 归纳推理
1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.(重点) 2.了解归纳推理在数学发展中的作用.(难点)
[基础·初探]
教材整理 归纳推理
阅读教材P3～P5，完成下列问题. 1.归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.
2.归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.( ) (2)由个别到一般的推理称为归纳推理.( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：
1
解惑：
[小组合作型]
数式中的归纳推理 (1)观察下列各式：a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝4，a＋b＝7，a＋b＝11，??，
则a＋b＝( )
【导学号：94210000】
A.28 C.123 (2)已知f(x)＝
B.76 D.199
，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)
1－x10
10
22334
4
5
5
x的表达式为_________________________________________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________.
【精彩点拨】 (1)记a＋b＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.
(2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果.
【自主解答】 (1)记a＋b＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a＋b＝123. (2)f1(x)＝f(x)＝，
1－x10
10
nnnnxxf2(x)＝f1(f1(x))＝
1－x1－1－xx＝
， 1－2xxxf3(x)＝f2(f2(x))＝
1－2x1－2·
x＝， 1－4xx1－2x由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x)＝n－1.
1－2xx 2
【答案】 (1)C (2)f3(x)＝
fn(x)＝n－1 1－4x1－2x
xx已知等式或不等式进行归纳推理的方法：
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论.
[再练一题]
1.经计算发现下列不等式：2＋18<210，4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，??根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.
【答案】 当a＋b＝20时，有a＋b<210，a，b∈R＋
数列中的归纳推理 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－A.2 C.－2
1，则a2 017等于( ) an＋1
1B.－
2D.1
(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图1-1-1：
图1-1-1
由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数.
【精彩点拨】 (1)写出数列的前n项，再利用数列的周期性解答.
(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数.
1
【自主解答】 (1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，?，数列{an}是周期为3的数列，
22 017＝672×3＋1，∴a2 017＝a1＝1.
【答案】 D (2)法一：由
3
1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，
可归纳出第n个三角形数为1＋2＋3＋?＋n＝法二 观察项数与对应项的关系特点如下： 项数 对应项 1 1×2 22 2×3 23 3×4 24 4×5 2n（n＋1）
2
.
分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积. 归纳：第n个三角形数的石子数应为
n（n＋1）
2
.
数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和. (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
[再练一题]
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，?) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an.
【导学号：94210001】
【解】 (1)当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1， 得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝2－1，a2＝3＝2－1，
1
2
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2－1(n∈N＋).
[探究共研型] 几何图形中的归纳推理 n 4
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