2020高中数学第三章指数函数和对数函数3.5对数与对数函数课时作业11

第5讲 对数与对数函数

一、选择题

1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( ) A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；

当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A

2.(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( ) A.a＝b

B.a＝b>c

C.a

D.a>b>c

3

解析 因为a＝log23＋log23＝log233＝log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c2＝log32

3.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )

解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3

－x?1?3

＝??，显然图像错误；选项B中，y＝x，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－?3?

xx)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符.故选B.

答案 B

1

?1??log2x，x>0，?4.已知函数f(x)＝?－x则f(f(1))＋f?log3?的值是( )

2???3＋1，x≤0，?

A.5 B.3 C.－1

7

D. 2

解析 由题意可知f(1)＝log21＝0，

f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，

f?log3?＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，

2

??

1?

?

12

1??所以f(f(1))＋f?log3?＝5. 2??答案 A

5.(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( ) A.(a－1)(b－1)<0 C.(b－1)(b－a)<0

解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1. 由logab>1得loga>0.

∴a>1，且>1或0a>1或00. 答案 D 二、填空题 6.设f(x)＝log?

B.(a－1)(a－b)>0 D.(b－1)(b－a)>0

bababa?2＋a?是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.

?

?1－x?

解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1， 1＋x∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).

1－x1＋x由f(x)<0，可得0<<1，∴－1

1－x答案 (－1，0)

?1?7.设函数f(x)满足f(x)＝1＋f??log2x，则f(2)＝________. ?2?

1?1??1??1?1

解析 由已知得f??＝1－f??·log22，则f??＝，则f(x)＝1＋·log2x，故f(2)＝1

2?2??2??2?213

＋·log22＝. 223答案 2

2

??－x＋6，x≤2，

8.(2015·福建卷)若函数f(x)＝?(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则

?3＋logax，x>2?

实数a的取值范围是________.

??a＞1

解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以?解1

?3＋loga2≥4，?

＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2]. 答案 (1，2] 三、解答题

9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域；

?3?(2)求f(x)在区间?0，?上的最大值.

?2?

解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)， ∴a＝2.

??1＋x>0，由?得－1＜x＜3， ?3－x>0，?

∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)＋4]， ∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

2

?3?故函数f(x)在?0，?上的最大值是f(1)＝log24＝2.

?2?

10.(2016·榆林月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log1x.

2

(1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x－1)>－2.

解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log1(－x).

2

2

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log1(－x)，

2

所以函数f(x)的解析式为

3

??f(x)＝?0，x＝0， ??log（－x），x<0.

logx，x>0，

2112

(2)因为f(4)＝log14＝－2，f(x)是偶函数，

2

所以不等式f(x－1)>－2转化为f(|x－1|)>f(4). 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x－1|<4，解得－5

11.(2017·青岛质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(2)，b＝f(log14)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是( )

2

0.3

2

22

A.a>b>c C.c>a>b

B.c>b>a D.a>c>b

解析 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数， ∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，

∵b＝f(log14)＝f(－2)＝f(2)，1<2<2

2

0.3

∴c>b>a. 答案 B

12.已知函数f(x)＝ln________.

解析 由题意可知ln＋ln＝0，

1－a1－b即ln?

x1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是

ab?a×b?＝0，从而a×b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a?1－a1－b?1－a1－b?

2

?1?1

＝－?a－?＋，

?2?4

又0＜a＜b＜1，

1?2111?∴0＜a＜，故0＜－?a－?＋＜.

2?2?44

?1?答案 ?0，? 4

?

?

4

5ba13.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝，a＝b，则a＝________，b＝________.

215

解析 ∵logab＋logba＝logab＋＝，

logab21

∴logab＝2或.∵a>b>1，∴logab

2

12ba2b22b2

∴logab＝，∴a＝b.∵a＝b，∴(b)＝bb，∴b＝bb，

2∴2b＝b，∴b＝2，∴a＝4. 答案 4 2

12

14.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(ax)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最

21

小值是－，求a的值.

8

1

解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)

212

＝(logax＋3logax＋2) 2

3?211?

＝?logax＋?－. 2?82?

13

当f(x)取最小值－时，logax＝－. 82又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1). ∵f(x)是关于logax的二次函数，

∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得. 3?211?1

若?loga2＋?－＝1，则a＝2－，

2?82?3

13

此时f(x)取得最小值时，x＝(2－)－＝2?[2，8]，舍去.

323?211?1

若?loga8＋?－＝1，则a＝，

2?82?2

3

－

?1?2＝22∈[2，8]，

此时f(x)取得最小值时，x＝???2?1

符合题意，∴a＝.

2

2

5