辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷（理科）

21．（12分）已知函数f（x）=lnx++ax，x∈（0，+∞）（a是实数），g（x）=

+1．

（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；

（2）是否存在正实数a满足：对于任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得f（x1）=g（x2）成立，若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由； （3）若数列{xn}满足x1=，xn+1=g（xn）﹣1，求证：

++…+＜．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】 22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若

=，求

的值．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取

2

相同的单位长度．已知曲线C：ρsinθ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方

程为（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等

比数列，求实数a的值．

【选修4-5：不等式选讲】

24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）． （1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；

（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合M={x|x+3x+2＜0}，集合

2

，则M∪N=（）

A． {x|x≥﹣2} B． {x|x＞﹣1} C． {x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}

考点： 并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法． 专题： 计算题．

分析： 根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．

2

解答： 解：∵集合M={x|x+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，

集合

={x|2≤2}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，

﹣x2

∴M∪N={x|x≥﹣2}， 故选A．

点评： 本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．

2．（5分）已知复数z=1+i，则 A． 2i

考点： 专题： 分析： 解答：

B． ﹣2i

等于（）

C． 2

D．﹣2

复数代数形式的混合运算．

计算题．

复数代入表达式，利用复数乘除运算化简复数为a+bi的形式即可． 解：因为复数z=1+i，

所以===﹣=2i．

故选A．

点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，常考题型．

3．（5分）如图，若f（x）=logx3，g（x）=log2x，输入x=0.25，则输出h（x）=（）

A． 0.25

B． 2log32

C． ﹣log23

D．﹣2

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断并输出h（x）取f（x）与g（x）中的较小值． 解答： 解：h（x）取f（x）与g（x）中的较小值， 即h（0.25）=min{f（0.25），g（0.25）}，

g（0.25）=log20.25=﹣2， f（0.25）=（）=

2

．

g（0.25）=﹣2＜f（0.25）=

故输出结果为：﹣2 故选：D．

点评： 分析流程图后，易得程序的功能是计算并输出分段函数的值，则可以转化为一个数

2

学问题，将入x=0.25代入计算出f（x）=x，g（x）=log2x的函数值，代入分段函数即可得到答案． 4．（5分）下列选项中，说法正确的是（） A． 命题“?x∈R，x﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x﹣x＞0” B． 命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件

22

C． 命题“若am≤bm，则a≤b”是假命题 D． 命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜

考点： 命题的真假判断与应用．

22

”的逆否命题为真命题

专题： 简易逻辑．

分析： 根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．

22

解答： 解：对于A，命题“?x∈R，x﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x﹣x＞0”，故错误； 对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；

22

对于C，命题“若am≤bm，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确； 对于D，“在△ABC中，若sinA＜，则A＜

或A＞

”为假命题，故其逆否命题也为假

命题，故错误； 故选：C

点评： 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题． 5．（5分）一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为s=t米，那么，此人（） A． 可在7秒内追上汽车 B． 可在9秒内追上汽车 C． 不能追上汽车，但其间最近距离为14米 D． 不能追上汽车，但其间最近距离为7米

考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

2

分析： 以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为﹣25+6t，汽车在时间t内的位移为s=t，从而设相对位移为ym；从而得到y=﹣25+6t﹣t=﹣（t﹣6）﹣7；从而求解． 解答： 解：以汽车停止位置为参照， 人所走过的位移为﹣25+6t； 汽车在时间t内的位移为s=t； 故设相对位移为ym；

则y=﹣25+6t﹣t=﹣（t﹣6）﹣7；

故不能追上汽车，且当t=6时，其间最近距离为7米． 故选D．

点评： 本题考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题．

6．（5分）在△ABC中，（ A． 等边三角形 C． 直角三角形

+

）?

=|

|，则三角形ABC的形状一定是（） B． 等腰三角形 D． 等腰直角三角形

2

2

22

2

2

2