计量经济学：异方差，序列相关，多重共线，随机解释变量习题以及解析

X3 X4

108 63

94 72

108 86

100 100

99 107

99 111

101 114

97 116

93 119

102 121

要求：

（1）采用适当的方法检验多重共线性； （2）多重共线性对参数估计值有何影响？ （3）用修正Frisch法确定一个较好的回归模型。

4-21．下表是某种商品的需求量、价格以及消费者收入的统计资料：

年份 需求量Y 价格X1 收入X2 1 3.5 16 15 2 4.3 13 20 3 5.0 10 30 4 6.0 7 42 5 7.0 7 50 6 9.0 5 54 7 8.0 4 65 8 10 3 72 9 12 3.5 85 10 14 2 90 要求：

（1）检验X1和X2是否存在严重的多重共线性？

（2）如何解决或减轻多重共线性的影响，并给出这一问题的回归方程。 4-22．对于模型：Yt??1??2Xt?u1t 要求：

（1）如果用变量的一次差分估计该模型，采用何种自相关形式？ （2）用差分估计时，并不删除截距，其含义是什么？

（3）假设模型存在一阶自相关，如果用OLS法估计，试证明其估计式：?2xy???xi2ii仍然

是无偏的，式中的xi?Xi?X，yi?Yi?Y。 （4）试证明Var(?2)??21?xi2不是有效的。

4-23．某国的政府税收T（单位：百万美元）、国内生产总值GDP（单位：10亿美元）和汽车数量Z（单位：百万辆）的观测数据如下表所示：

序号 1 2 3 4 5 6

T 3 2 5 6 4 5

GDP 4 1 7 8 5 7

Z 5 2 6 7 5 6

7 8 9

7 9 8

8 11 10

6 7 7

要求：试以汽车数量Z作为国内生产总值GDP的工具变量，估计税收函数：

Tt??0??1GDPt??t

4-24．继续习题3-21的讨论。问题如下：

（1）假定做GMAT分数对GPA的回归分析，并且发现两变量之间显著正相关。那么，你对多重共线性问题有何看法？

（2）对习题3-21的（1）建立方差（ANOVA）分析表并检验假设：所有偏回归系数均为零。 （3）用R2值，对本题（2）建立ANOVA表进行分析。

4-25．如果解释变量之间的相关系数为0，则称它们是正交的。对于模型：

Yt??0??1X1t??2X2t?ut

若X1与X2是正交的，证明下列结论：

（1）多元线性回归的最小二乘估计量?1、?2分别等于Y对X1、Y对X2的一元线性回归的最小二乘估计量；

（2）多元回归的回归平方和为两个一元回归的回归平方和的和。

4-26．假设Y为内生变量，X为外生变量，以下各组方程中哪些方程可以用Durbin—Watson方法检验一阶自相关： （1）Y1t??1X1t?u1t

??Y2t??2X2t??Y1t?u2t

（2）Y1t??1Yt?1?u1t

Y2t??2Y(t?1)??2X2(t?1)?u2t

（3）Y1t??1X1t?u1t

Y1t??2X2t?u2t

4-27．有5个解释变量的多元线性回归模型，用容量为93的样本数据进行回归分析。若根据回归残差序列计算的D.W.值为1.1，应得出什么结论？若D.W.值为2.35呢？

4-28．若已知线性回归模型Y??0??1X1??2X2??的误差项的方差为?i2?2X1i?3，

问处理该模型的方法是什么？

4-29．一个两变量线性回归模型的回归残差序列如下表所示：

n 1 2 3 4 5 6 7

残差e 0.013 0.054 -0.014 -0.042 -0.078 -0.056 0.083

n 8 9 10 11 12 13 14

残差e -0.082 -0.053 0.041 -0.151 -0.054 0.042 0.117

n 15 16 17 18 19

残差e 0.198 0.103 0.000 -0.063 -0.058

要求：请分析该模型的误差项是否存在什么问题？若存在一些问题，说明有哪些处理方法可以考虑？

4-30．在研究生产中的劳动在增加值中所占的份额（即劳动份额）的变动时，有以下模型： 模型A：Yt??0??1t?ut 模型B：Yt??0??1t??2t2?ut

其中，Y为劳动份额，t为劳动时间。根据该研究时期内的15年数据进行参数估计，得到模型结果为：

2模型A：Yt?0.4528?0.0041t R?0.5284 D.W.?0.825 2

?(?3.9608)

2模型B：Yt?0.4786?0.0127t?0.0005t

?(?3.2724) (2.7777)

R2?0.6629 D.W.?1.82

其中：括号中的数字是t检验值。

要求：（1）模型A中有没有自相关？模型B呢？

（2）如何解释自相关的存在？

（3）你会怎样区分“纯粹”自相关和模型形式设定错误？

四、习题解答

4-1．答：

⑴异方差性指对于不同的样本值，随机扰动项的方差不再是常数，而是互不相同的。 ⑵序列相关性指对于不同的样本值，随机扰动项之间不再是完全相互独立，而是存在某种相关性。

（3）多重共线性指两个或多个解释变量之间不再彼此独立，而是出现了相关性。 ⑷偏回归系数指：在三变量线性回归模型中，当其中一个解释变量为常量时，另一个解释变量对被解释变量均值的影响。

⑸完全多重共线性指：在有多个解释变量模型中，其中一个变量可以表示为其他多个变量的完全线性函数，即X1?B2X2?B3X3??BkXk，其中至少有一个

Bi?0,(i?2,3,?,k)，X1与等式右边线性组合的相关系数为1，则这种情况被称为完全

多重共线性。在此情况下，不能估计解释变量各自对被解释变量的影响。

⑹不完全多重共线性指：在实际经济活动中，多个解释变量之间存在多重共线性问题，但X1与等式右边线性组合的相关系数不为1。

⑺随机解释变量指：在现实经济现象中，解释变量是不可控的，即解释变量的观测值具有随机性，并且与模型的随机误差项有相关关系，这样的解释变量称为随机解释变量。 ⑻差分法是一类克服序列相关性的有效方法。它是将原计量经济模型变换为差分模型，分为一阶差分法和广义差分法。

⑼广义最小二乘法（GLS）即最具有普遍意义的最小二乘法。

⑽D.W.检验：全称杜宾—瓦森检验，适用于一阶自相关的检验。该法构造一个统计量：

D.W.?e?~e?(~ii?2ni?1)2，计算该统计量的值，根据样本容量n和解释变量数目k查D.W.分

e?~i?1n2i布表，得到临界值dl和du，然后按照判断准则考察计算得到的D.W.值，以判断模型的自相关状态。 4-2．答：