计量经济学：异方差，序列相关，多重共线，随机解释变量习题以及解析

（1）根据经济理论和直觉,请计回归系数的符号是什么(不包括常量)，为什么？观察符号与你的直觉相符吗？

（2）在10%的显著性水平下，请进行变量的t-检验与方程的F-检验。T检验与F检验结果有相矛盾的现象吗？

（3）你认为估计值是（1）有偏的；（2）无效的或（3）不一致的吗？详细阐述理由。 解答：

（1）在其他变量不变的情况下，一城市的人口越多或房屋数量越多，则对用水的需求越高。所以可期望house和pop的符号为正；收入较高的个人可能用水较多，因此pcy的预期符号为正，但它可能是不显著的。如果水价上涨，则用户会节约用水，所以可预期price的系数为负。显然如果降雨量较大，则草地和其他花园或耕地的用水需求就会下降，所以可以期望rain的系数符号为负。从估计的模型看，除了pcy之外，所有符号都与预期相符。 （2）t-统计量检验单个变量的显著性，F-统计值检验变量是否是联合显著的。

这里t-检验的自由度为15-5-1=9，在10%的显著性水平下的临界值为1.833。可见，所有参数估计值的t值的绝对值都小于该值，所以即使在10%的水平下这些变量也不是显著的。

这里，F-统计值的分子自由度为5，分母自由度为9。10%显著性水平下F分布的临界值为2.61。可见计算的F值大于该临界值，表明回归系数是联合显著的。

T检验与F检验结果的矛盾可能是由于多重共线性造成的。house、pop、pcy都是高度相关的，这将使它们的t-值降低且表现为不显著。price和rain不显著另有原因。根据经验，如果一个变量的值在样本期间没有很大的变化，则它对被解释变量的影响就不能够很好地被度量。可以预期水价与年降雨量在各年中一般没有太大的变化，所以它们的影响很难度量。 （3）多重共线性往往表现的是解释变量间的样本观察现象，在不存在完全共线性的情况下，近似共线并不意味着基本假定的任何改变，所以OLS估计量的无偏性、一致性和有效性仍然成立，即仍是BLUE估计量。但共线性往往导致参数估计值的方差大于不存在多重共线性的情况。

6、一个对某地区大学生就业增长影响的简单模型可描述如下

gEMPt??0??1gMIN1t??2gPOP??3gGDP1t??4gGDPt??t

式中，为新就业的大学生人数，MIN1为该地区最低限度工资，POP为新毕业的大学生人数，GDP1为该地区国内生产总值，GDP为该国国内生产总值；g表示年增长率。

（1）如果该地区政府以多多少少不易观测的却对新毕业大学生就业有影响的因素作为基础来选择最低限度工资，则OLS估计将会存在什么问题？

（2）令MIN为该国的最低限度工资，它与随机扰动项相关吗？

（3）按照法律，各地区最低限度工资不得低于国家最低工资，哪么gMIN能成为gMIN1的工具变量吗？ 解答：

（1）由于地方政府往往是根据过去的经验、当前的经济状况以及期望的经济发展前景来定制地区最低限度工资水平的，而这些因素没有反映在上述模型中，而是被归结到了模型

的随机扰动项中，因此 gMIN1 与?不仅异期相关，而且往往是同期相关的，这将引起OLS估计量的偏误，甚至当样本容量增大时也不具有一致性。

（2）全国最低限度的制定主要根据全国国整体的情况而定，因此gMIN基本与上述模型的随机扰动项无关。

（3）由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往考虑全国的最低工资水平的要求，因此gMIN1与gMIN具有较强的相关性。结合（2）知gMIN可以作为gMIN1的工具变量使用。

三、习题

（一）基本知识类题型 4-1．解释下列概念： （1）异方差性 （2）序列相关性 （3）多重共线性 （4）偏回归系数 （5）完全多重共线性

4-2．判断下列各题对错，并简单说明理由：

1) 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS）估计量是有偏的和无效的； 2) 如果存在异方差，通常使用的t检验和F检验是无效的；

3) 在存在异方差情况下，常用的OLS法总是高估了估计量的标准差；

4) 如果从OLS回归中估计的残差呈现系统模式，则意味着数据中存在着异方差； 5) 当存在序列相关时，OLS估计量是有偏的并且也是无效的； 6) 消除序列相关的一阶差分变换假定自相关系数?必须等于1；

7) 两个模型，一个是一阶差分形式，一个是水平形式，这两个模型的R2值是不可以直接

比较的。

8) 回归模型中误差项ut存在异方差时，OLS估计不再是有效的； 9) 回归模型中误差项ut存在序列相关时，OLS估计不再是无偏的；

4-3．简述异方差对下列各项有何影响：（1）OLS估计量及其方差；（2）置信区间；（3）显

（6）不完全多重共线性 （7）随机解释变量 （8）差分法 （9）广义最小二乘法 （10）D.W.检验

著性t检验和F检验的使用。

4-4．在存在AR（1）自相关的情形下，什么估计方法能够产生BLUE估计量？简述这个方法的具体步骤。

（二）基本证明与问答类题型

4-5．在存在AR（1）的情形下，估计自相关参数?有哪些不同的方法？ 4-6．在如下回归中，你是否预期存在着异方差？

Y a) b) c) d) e) 公司利润 公司利润的对数 道琼斯工业平均指数 婴儿死亡率 通货膨胀率 净财富 净财富的对数 时间 人均收入 货币增长率 X 样本 《财富》500强 《财富》500强 1960~1990年（年平均） 100个发达国家和发展中国家 美国、加拿大和15个拉美国家 4-7．已知消费模型：yt??0??1x1t??2x2t?ut 其中：yt——消费支出

x1t——个人可支配收入

x2t——消费者的流动资产 E(ut)?0

22 Var(ut)??2x1t(其中?为常数）要求：

（1）进行适当变换消除异方差，并证明之；

（2）写出消除异方差后，模型的参数估计量的表达式。

4-8．什么是异方差性？举例说明经济现象中的异方差性。检验异方差性的方法思路是什么？ 4-9．什么是序列相关性？举例说明经济现象中序列相关性的存在。检验序列相关性的方法思路是什么？熟悉D.W.统计量的计算方法和查表判断。

4-10．什么是多重共线性？产生多重共线性的经济背景是什么？多重共线性的危害是什么？为什么会造成这些危害？检验多重共线性的方法思路是什么？有哪些克服方法？ 4-11．随机解释变量的来源有哪些？随机解释变量可以造成哪些结果？ 4-12．当模型中出现随机解释变量时，最小二乘估计量具有什么特征？ 4-13．试比较说明普通最小二乘法与加权最小二乘法的区别与联系。

4-14．估计量的渐近统计性质的含义是什么？什么是渐近无偏性？

4-15．什么是估计的一致性？证明对于工具变量法的估计量?是?的一致估计。 4-16．为什么回归残差序列可以作为检验线性回归模型误差项的各种问题的基础？ 4-17．对于线性回归模型：Yt??0??1Xt?ut ，已知u为一阶自回归形式：ut??ut?1??t，

?要求：证明?的估计值为：??

?

?ee

t?2

n

n

tt?1

2t?1

?e

t?2

4-18．证明下面方程中的误差项?i是同方差的。

Yiu11??1()??2(i)??1()??2??i， 其中：?iXiXiXiXi?uiXi

（三）基本计算类题型

4-19．某上市公司的子公司的年销售额Yt与其总公司年销售额Xt的观测数据如下表：

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 X 127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 Y 20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7 Y 24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78 要求：

(1)用最小二乘法估计Yt关于Xt的回归方程； (2)用D.W.检验分析随机项的一阶自相关性； (3)用Durbin两步法估计回归模型的参数； (4)直接用差分法估计回归模型的参数.

4-20．下表是被解释变量Y及解释变量X1、X2、X3、X4的时间序列观测值：

Y X1 X2 6.0 40.1 5.5 6.0 40.3 4.7 6.5 47.5 5.2 7.1 49.2 6.8 7.2 52.3 7.3 7.6 58.0 8.7 8.0 61.3 10.2 9.0 62.5 14.1 9.0 64.7 17.1 9.3 66.8 21.3