2020高考冲刺数学总复习压轴解答：数列与不等式的综合问题（附答案及解析）

专题三 压轴解答题

第五关 数列与不等式的综合问题

【名师综述】

数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．

【考点方向标】

方向一 求数列中的最值问题

典例1．（2020·重庆西南大学附中高三月考）已知等比数列?an?的前n项和为Sn，且当n?N*时，Sn是2n?1与2m的等差中项(m为实数).

（1）求m的值及数列?an?的通项公式；

*（2）令bn?1?log2ann?N，是否存在正整数k，使得

??111k???????对任意正整数bn?1bn?2bn?n10n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由.

【举一反三】

（2019·江苏南京师大苏州实验学校月考）已知数列?an?各项均为正数，Sn是数列?an?的前n项的和，对任

2意的n?N*，都有2Sn?3an?an?2.数列?bn?各项都是正整数，b1?1,b2?4，且数列ab1,ab2,ab3,?,abn是等比数列．

(1) 证明：数列?an?是等差数列； (2) 求数列?bn?的通项公式bn；

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(3)求满足

Sn1?的最小正整数n. bn?24方向二 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

典例2．（2020·辽宁辽师大附中高三月考）设公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3?15，且

?1?a1,a4,a13成等比数列，记数列??的前n项和为Tn.

aa?nn?1?（1）求Tn；

（2）若对于任意的n?N*，tTn?an?13恒成立，求实数t的取值范围.

【举一反三】

（2020·重庆高三月考）已知数列?an?的前n项和为Sn，Sn?2an?n. （1）证明：?an?1?为等比数列； （2）设bn?log

2an?1，若不等式

1111????????t对?n?N*恒成立，求t的最小值. b1b2b2b3b3b4bnbn?1方向三 数列参与的不等式的证明问题

典例3．（2020·河南高三期末）已知数列?an?满足（1）求数列?an?的通项公式； （2）设数列?

典例4．（2020·江苏高三期末）已知数列?an?满足an?（1）求数列?an?的通项公式；

123nn???…??．

2a1?52a2?52a3?52an?53?1?11nT?T?的前项和为，证明：． ?nnaa226?nn?1?11?2?n?N*?，且a1?.

an?12 2 / 44

（2）设数列?an?的前n项和为Sn，求证：当n?2时，S2n?1?Sn?1?n?

【举一反三】

4. 5（2020·山东期末）设Sn为数列?an?的前n项和，已知a1?2，对任意n?N*，都有2Sn??n?1?an．

(Ⅰ)求数列?an?的通项公式；

??4??1T(Ⅰ)若数列??Tn?1． n的前项和为，求证：?naa?22????n?n?

（2020·天津高三期末）已知数列?an?是等比数列，数列?bn?是等差数列，且

a1?3，b2?a2，b5?a3?3，b8?a4．

求数列?an?的通项公式an； （Ⅰ）111an?????（1n?N*，n?2）令cn?log2，证明：； （Ⅰ）cccccc32334nn?1b2i求?3b（n?N*）． （Ⅰ）i?1（3）i?1

n【压轴选编】

1．（2020·河北高三期末）已知数列?an?的各项均为正数，且an??2n?3?an?4n?2?0，n?N*，正项

2等比数列?bn?的前n项和为Sn，且b1?2，S3?a8?1. （Ⅰ）求数列?an?，?bn?的通项公式； （Ⅰ）若数列?

2222．（2020·天津静海一中高三月考）正项数列?an?的前n项和Sn满足：Sn?(n?n?1)Sn?(n?n)?0

?an??的前n项和为Tn，求证：Tn?3. b?n? (1)求数列?an?的通项公式an；

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(2)令bn?

n?15{bn}nTnnⅠN*Tn . ，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有＜

(n?2)2an264x23．（2020·山东高三期末）已知函数f?x??sinx??ln?1?x?.

2（1）证明：f?x??0； （2）数列?an?满足：0?a1?（Ⅰ）证明：0?a1?1，an?1?f?an?（n?N?）. 21（n?N?）； 2（Ⅰ）证明：?n?N?，an?1?an.

4．（2020·山东高三期末）已知数列?an?，?bn?满足：a1?1，b1?0，4bn?1?an?4?3bn，

4an?1?3an?4?bn，n?N*.

（1）证明：数列?an?bn?为等差数列，数列?an?bn?为等比数列； （2）记数列?an?的前n项和为Wn，求Wn及使得Wn?9的n的取值范围.

5．（2020·安徽高三）已知数列?an?的前n项和Sn?n2?n，等比数列?bn?的公比q(q?1)，且

b3?b4?b5?28，b4?2是b3和b5的等差中项.

（1）求?an?和?bn?的通项公式； （2）令cn?bn?

6．（2020·全国高三专题练习）记Sn为数列?an?的前n项和.已知1?Sn?2an. （1）求?an?的通项公式；

（2）求使得a2n?Sn?2020的n的取值范围.

1m对一切n?N*成立，求实数m的最大值. ，?cn?的前n项和记为Tn，若2Tn…2an?1 4 / 44