高中数学复习学（教）案（第36讲）绝对值不等式

题目 第六章不等式绝对值不等式 高考要求

1理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 2．掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 知识点归纳

1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方 2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题

||a|─|b||?|a+b|?|a|+|b|;||a|─|b||?|a─b|?|a|+|b|;并指出等号条件 3．(1)|f(x)|

(2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<─g(x)（无论g(x)是否为正） （3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）

a?b?a?b?a?b

左边在ab?0(?0)时取得等号，右边在ab?0(?0)时取得等号 题型讲解

例1 解不等式5x?1?2?x

分析：不等式x?a?x?a或x??a,x?a??a?x?a（其中a?0）可以推广为任意a?R都成立，且a为代数式也成立 解：原不等式又化为

5x?1?2?x或5x?1??(2?x) 13解之得x?或x??64∴原不等式的解集为{xx?1或x??3}

64点评：可利用f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x),f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x) 去掉绝对值符号 例2 求证：不等式a?b?a?b

1?a?b1?a1?b证法一:?1?当a?b?0时,显然成立;

?2?当a?b?0时,

a?b?1?a?b11?1a?b?11a?ba?babab?????11?a?b1?a?b1?a?b1?a1?b??原不等式成立.

aa?m证法二:利用分式不等式性质:若0?a?b,m?0,则?

bb?m?1?当a?b?0时,显然成立;

?2?当a?b?0时,?a?b?a?b?综上（1），（2）得a?b1?a?b?a1?a?b1?ba?b1?a?b?a?b1?a?b?a1?a?b1?b

例3 若f(x)?1?x2,且a,b为互异实数,求证:f(a)?f(b)?a?b

分析1:欲证f(a)?f(b)?a?b成立,只要证f(a)?f(b)a?b?1成立.

f(a)?f(b)证法一:??a?ba2?1?b2?1a?b?a2?1?b2?1?a2?1?b2?1?a?b(a2?1?b2?1) ?a2?b2a?b(a?1?b?1)22?a?ba?1?b?122?a?ba?b?1?a?b?

?f(a)?f(b)?a?b成立.

分析2:直接把f(a)?a2?1,f(b)?b2?1代入f(a)?f(b),进行分子有理化，也易得证.

证法二:f(a)?f(b)?a2?1?b2?1??a2?1???b2?1?2a?1?b?12?a2?b2a?b

?所以，原命题得证 ?a?b??a?b?a?b?a?b

证法三:欲证f(a)?f(b)?a?b成立,只要证a2?1?b2?1?a?b

只要证1?a2?1?b2?2现证?a2?1??b2?1??a2?2ab?b2

?a2?1??b2?1??1?ab

当1?ab?0时,显然成立,当1?ab?0时,只要证1?a2?b2?a2b2?1?2ab?a2b2 即a2?b2?2ab,而此式成立,?原不等式成立.证法四:欲证f(a)?f(b)?a?b成立,只要证a2?1?b2?1?a?b只要证1?a2?1?b2?2?a2?1??b2?1??a2?2ab?b2

只要证明?a2?1??b2?1??1?ab

?(a2?1)(b2?1)?1?a2?b2?a2b2?1?2ab?a2b2??a?b?(a2?1)(b2?1)?1?ab,?原不等式成立

例4 设f(x)?x2?bx?c(b,c为常数),方程f(x)?x?0的两个实根为x1,x2,

?1?ab?2?1?ab且满足x1?0,x2?x1?1.

?1?求证:b2?2(b?2c);?2?设0?t?x1,比较f(t)与x1的大小;?3?若当x???1,1?时,对任意的x都有

f(x)?1,求证:1?b?2.2解:?1??方程f(x)?x?0的两根为x1,x2,因而有?x2?x1??b2?2b?1?4c,又x2?x1?1,?b2?2b?1?4c?1,?b2?2(b?2c).

?2??x1是方程f(x)?x?0的根,?x1?f?x1?,

?f?t??x1?f?t??f?x1??(t?x1)(t?x1?b)?(t?x1)(t?1?x2), ?x1?x2?1?b,?0?t?x1,?t?x1?0,又x2?x1?1即x1?1?x2?0,

?t?1?x2?x1?1?x2?0,故f?t??x1?0

?3??x???1,1?时恒有f(x)?1,

?f(0)?c?1,f(1)?1?b?c?1,

从而1?b?1?b?c?c?1?b?c??c?1?b?c?c?1?1?2

2f(x)?例5 已知a?1,函数f(x)?ax?x?a(?1?x?1),求证：5 4证明：a?1,x?1

?f(x)?ax2?x?a

?a(x2?1)?x?a(x2?1)?x?1?x2?x?1?x?x?例6 求证：（a4?b4）（?a2?b2）?a3?b3

25 4（a，b），n?（a，b）证明：令m? ?m?a4?b4n?a2?b2，m?n?a3?b3 ?m?n?mn)?（a4?b4）（?a2?b2）?a3?b3

例7 a, b ? R 证明|a + b|－|a－b| < 2|b|

22?|(a?b)?(a?b)|?|a?b|?|a?b| ?|a?b|?|a?b|?|2b|?2|b|

例8 解不等式||x+3|─|x─3||>3 解法一：分区间去绝对值（零点分段法）： ∵||x+3|─|x─3||>3

?x??3∴(1)??x<─3;

|?(x?3)?(x?3)|?3?(2)???3?x?3?3/2

?|(x?3)?(x?3)|?3