实变函数单元测试资料(1)

一、集合

1、 证明：(A?B)?C?A?(B?C)；(A?B)?C?(A?C)?(B?C)。 2、 证明：单调上升有上界的数列{xn}必有上确界，且sup{xn}?limxn。

nn??3、 证明：若{An}单增，则limAn??An；若{An}单减，则limAn??An。

n??n?1n??n?1??4、 证明：E[f?c]??E[f?c?n?1?1]。 n5、 证明：任何无限集必与其一个真子集对等。

6、 证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A?B?A。 7、 证明：有理数全体成一可数集。 8、 证明：开区间(0,1)是一不可数集。 9、证明：无理数全体成一不可数集。

二、点集

1、设A?B，证明：A??B?,A0?B0,A?B。 2、证明：?A?A?A。

3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E?,E0,E。

4、设E?{(x,y)|0?x?y?1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。

5、设E?R，证明：E是开集，E?和E是闭集。

6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。并举例说明开集的任意交不一定是开集。 7、证明开集与闭集的对偶性。

8、证明：点集F为闭集的充要条件是F?F。

9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集

n01

2220f?1(G)?{x|f(x)?G}是开集。