新课标数学竞赛讲座（总） - 图文

11.一个正方体,它的每一面上写有一个字,组成“数学奥林匹克”.有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示,那么,“学”字对面的字为______.(重庆市竞赛题)

（第11题） （第12题）

12.用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘,?正方形每边都等距离地摆n(?n?≥3)??盆花,??那么所需菊花的总盆数s?与n?的关系可以表示为________. (第14届“希望杯”邀请赛试题) 13. (新加坡数学竞赛题)如果一个序列?ai?满足a1=2,an+1=an+2n(n为自然数),那么a100是( ) A.9900 B.9902 C.9904 D.10100 E.10102 14. (2001年湖北省荆州市中考题)将正偶数按下表排成5列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10

第3行 18 20 22 24 ?? ?? 28 26 根据上面排列规律,则2000应在( ).

A.第125行,第1列 B.第125行,第2列 C.第250行,第1列 D.第250行,第2列

15.(1)设n为自然数,具有下列形式11???1155???55的数是不是两个连续奇数的积,说明理由.

n个1n个5(2)化简33???3×33???3+199???9,并说明在结果中共有多少个奇数数字?

n个3n个3n个9

16.(1)图①是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图②、③、④、?⑤的木块.我们知道,图①的正方体木块有8个顶点,12条棱,6个面,请你将图②、③、④、?⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：

图 ① ② ③ ④ ⑤ 顶点数 8 棱数 12 面数 6 (2)观察此表,请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系是：

____________________.

(3)图⑥是用虚线画出的正方体木块,请你想象一种与图②～⑤不同的切法,?把切去一块后得到的那

一块的每条棱都改画成实线,则该木块的顶点数为________,棱数为 _________,面数为________. (第16届江苏省竞赛题)

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三、综合创新：

17.怎样的两个数,它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+2=2×2,其实这样的两个数还有很多,例如:3+

33=3×。 22 (1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗?

(2)你能否提出一些类似的问题?在你提出的问题中选择一个问题进行研究.

18. (2002年湖北省竞赛题)观察按下列规则排成的一列数:

1121231234123456,?(※)

12132143215432112 (1)在(※)中,从左起第m个数记为F(m),当F(m)=时,求m的值和这m个数的积.

2001 ,,,,,,,,,,,,,,, (2)在(※)中,未经约分且分母为2的数记为c,它后面的一个数记为d,?是否存在这样的两个数c和d,使cd=2001000,如果存在,求出c和d;如果不存在,请说明理由.

答案:

1.(1)6,(2)2003. 2.a+b=c+d-14或a+c=b+d-2或a+d=b+c 3.13,3n+1 4.?C

5.B 提示:同时出现在这两个数串中的数是1～1999的整数中被6除余1的数,共有334个. 6.C

7.提示:观察已经写出的数,发现每三个连续数中恰有一个偶数,在前100项中,?第100项是奇数,前99项中有

99=33个偶数. 38.提示:经观察可得这个自然数表的排列特点:

①第一列的每一个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2; ②第一行第n?个数是(n-1)2+1;

③第n行中从第一个数至第n个数依次递减1; ④第n列中从第一个数至第n个数依次递增1.

这样可求:(1)上起第10行,左起第13列的数应是第13列的第10个数,即[(13-1)2+1]+9=154. (2)数127满足关系式 127=112+6=[(12-1)2+1]+5,即127在左起12列,上起第6?行的位置. 9.(1)(2n+1)(2n+3)=4(n+1)2-1;

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(2)

11,-各行数的个数分别为1,2,3,? ,求出第1行至第198行和第1行至第1997行共

197091995014有多少个问题就容易解决.

10.7n+6,285 11.林 12.S=7×4(n-1)-5n=23n-8(n≥3) 13.B 14.C 15.(1)提示:是,原式=33???3×33???3 5;

n个3(n?1)个3(2)原式=11???12 88???8结果中的奇数数字有n-1个.

(n?1)个1n个816.(1)略;(2)顶点数+面数-棱数=2;(3)按要求画图,验证(2)的结论.

a?1a(a?1)?(a?1)(a?1)2(a?1)17.(1)一般地,我们有(a+1)+()= ==(a+1)·

aaaa (2)类似的问题如:

①怎样的两个数,它们的差等于它们的商? ②怎样的三个数,它们的和等于它们的积? 18.(1)(※)可分组(),(

1112123123412345,),(,,),(,,,),(,,,,),?

32143215432121可知各组数的个数依次为1,2,3,? 按其规律

21232002应在第2002组(,,,?,)中, 200120022001200012? ?时,?m=2003001+2=2003003, 2001该组前面共有1+2+3+4+?+2001=2003001个数, 故当F(?m)?=

又因各组的数积为1,

121×=。 20022001200300120002002 (2)存在满足条件的c和d,c=,d=。

21故这2003003个数的积为

依题意,c为每组倒数第2个数,d为每组最后一个数, 设它们在第n组,则c= ∴

n?1n,d=. 21n(n?1)=2001000,即n(n-1)=4002000=2001×2000 22001?120002001 ∴n=2001,得c==,d=.

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提高训练

1． 如图，由8个边长为1的正方体堆放在一起，请你在图形中找到一点B与点A连接起来，使得到的线

段AB长度等于3．

2． 阳阳和明明玩上楼梯的游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩

着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级??逐步增加时，楼梯的上法依次为1，2，3，5，8，13，21，?．那么上10级台阶共有______种上法．（武汉市中考题） 3． 瑞士中学巴尔默成功从光谱数据

9162536，，，，?中得到5122132巴尔默数据时

Ａ公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请按这种规律写出第七个

______．

（福州市中考题） 4． 已知一列数：1，-2, 3，-4, 5，-6，7，?将这列数排列成下列形式： 第一行 1

第二行 -2 3

第三行 -4 5 -6

第四行 7 -8 9 -10

第五行 11 -12 13 -14 15

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