数学的对称性及其在若干数学问题中的应用本科毕业论文

原命题 逆命题 否命题 逆否命题等价 图 1

平行线的性质:“两直线平行,同位角相等;两角直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.”与平行线的判定:“同位角相等,两直线平行:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.”就是数学定理间存在对称关系的最好例子. 3.4 解题方法的对称性

对称是人类审性的共同意向,不仅已经成为一种深刻的思想,而且还是一种探索性的发现方法解决问题的利器.在数学解题过程中考虑对称性的因素,运用对称性的思考,可启发我们寻找到好的解题方法,起到事半功倍的作用.

例. 在有理数范围内分解因式a3?b3?c3?3abc分析:对于中我们而言,这道题不太容易,因为用到的方法\借助余式定理’、“换元法”或“待定系数法”等都是超纲的.可是,如果用对称思想来分析,一切就迎刃而解了.

如果三次齐次式a3?b3?c3?3abc可以分解,那么2个因式因该是一个一次式一个二次式,或者三个一次式.由于这三个一次式中的任两个乘起来得一个二次式,所以可以认为,若原式能分解,必定是一个一次式与一个二次式相乘的形式,形如:.这（）（）里第一个括号内是一次式,它应该是什么样子呢?由于从原式看出a、b、c应该是对称的,即第一个括号内应该是a?b?c,从还原角度看,第二个括号内应有“?a2”,而a、

b、c是对称的,那么,就应该同时有“?b2”,“?c2”这时第二个括号内,就出现了

a2?b2?c2但从还原角度,出不来一3abc的“?”号,因此,第2个括号前3项之后,应

出现负项,先考虑这“负项”是二次项,写出了“?ab”.那么,由于a、b、c的对称性,必须还有“?bc”及“?ac”这样便得到(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)

对不对呢?把它乘开,能还原回去,说明分解正确! ∴a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b?c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)

4.对称性的认知过程与数学解题

上面论述了对称性在科学发展和人的发展中的作用,既然对称性这么重要,那么如何才能认识解题中的数学性,并能灵活运用对称性呢?根据我们一般的心理认知规律,

6

结合我积累多年的经验,我认为我们对对称性的认知过程一般可分为四个阶段: 感知对称性→发现对称性→欣赏对称性→创造(或运用)对称性,为此,在数学解题中,我们应注意做好以下几点.

4.1 联系具体实例,感知对称性

“对称”在自然界、艺术、科学上的例子屡见不鲜,例如,动物形体与植物叶脉都呈现着对称规律,一座桥在水下的倒影又呈现出上下对称,雪花的对称是大自然的杰作,无论是北京人民大会堂,还是普通的民居、民宅无不蕴含着对称,微生物中如牛痘等病毒皆呈正20面体状,许多晶体的外形及内部构造也是对称的.紧密地联系生活,从身边的建筑、影像、事物开始,让我们感知、认识对称性,使我们获得对对称性的感性理解,进而形成对对称性的一般认识.

对称性不仅存在于几何形态中,还大量存在于代数式中,如完全平方公式:(a?b)2?a2?2ab?b2在理解人教版教材(2008年10月第二版)高二下册(A)中的二

0n1n?112n?22n?1项式定理(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab????Cnabn?1?Cbn时,可以要求我们

把n?1,2,?,n?的二项式展开式的系数列成下表:

n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

?? ?????????????????? 图2

我们会惊叹地发现该列表在形式上是如此的对称,原来数学数字的背后还蕴藏着具有如此规律的性;最后,我们指出这就是著名的\杨辉三角\它反映的就是数学的对称性.

在引导我们认识对称性时,我们要注意,生活实践中的对称一般是以几何形态出现,因此,我们认识具体形态和几何图形中的对称性是非常容易的.但是对于代数式中的对称,我们理解起来却并不是那么容易.这就要求我们在引导我们认识对称时,首先自身就要重视代数对称,在一开始的引入中要有意识的引出代数对称,如

a?b?b?a,a?b?b?a等等,避免我们形成\对称仅仅存在于几何之中\这种先入为主

的错误概念.

4.2 提炼对称因素,发现对称性

7

数学中蕴涵着丰富的对称性:轴对称、中心对称、对称多项式等,从奇偶性上或可分解性上区分数也可以视为对称,从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系等等,又如正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形??但是我们未必能感受到这些对称性,这就要求我们在解题中能够把这些对称性因素充分挖掘出来,展示在我们面前,让我们真正体验到数学的对称性.

在解题的过程中经常发掘教材中的数学性并引入适当实例,能大大提高我们感受性和鉴赏性的能力,逐步使我们达到运用数学中的性学方法去进行性的创造的初步能力.例如在椭圆标准方程的推导过程中,可推得MA?MB?2.设两定点的距离为2c,定长

22＋y2＋（x－c）＋y2＝2a上式进行适当地变形整理,化为为2a,则：（x＋c）x2y2＋＝1由于椭圆具有对称性,反映出对称性的特征,那么它的方程在结构上也a2a2－c2应具有对称性,给人以性感.为此b2?a2?c2,其中b>0最终使方程化为我们所看到的标

x2y2准形式2＋2＝“标准”方程当之无愧.1,这个方程具有数学对称性的特征,称为椭圆的

ab引进字母b纯粹是为了追求方程的对称性,但后来发现a、b正好分别是椭圆的长、短半轴的长,字母“b”含有了鲜明的几何意义,人的内心世界感到性的东西,在外部世界得到了印证.这正体现了\性\与\真\之间微妙的统一性,性妙极了.

4.3 提高感知能力,欣赏对称性

现实生活中有这样一种现象:有一定数学素养和性学修养的人去学习数学总会觉得兴趣盎然,并体味到其中的无穷魅力;而另外的许多人却总觉得数学索然无味,这是为什么呢?造成这种现象的重要原因就在于对数学性的感知能力有差异.从数学审性认知结构去分析,可以认为有数学性的知识、数学性的观念、数学性的经验的人,往往在数学的活动中能够用数学审性的眼光去观察数学对象,从数学审性的角度去思考数学问题,按数学审性标准去猜测和发现数学结论.或者可以认为,有一定数学性的感知能力的人,数学性感己经内化为其数学认知结构中的一个重要组成部分.

以0.618为例,这个本来枯燥的数字,在现实生活的运用中却性妙无比.十六世纪意大利的帕乔里把它称为“神赐的比例”①,文艺复兴时期的达·芬奇称其为“神圣比例”②,他认为“性感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”③.通常认为对称是要各方均等,但这个数让人们意识到对称概念中的和谐匀称的涵义.科学家和艺术家普遍认为,黄金律是建筑艺术必须遵循的规律.在建筑造型上,人们在高塔的黄金分割点处布置腰

8

线或装饰物,则可使整个楼群显得雄伟雅致.古代雅典的巴特农神殿,当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔,举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔,都是根据黄金分割的原则来建造的.在日常生活中,最和谐悦目的矩形,如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等,其短边与边长之比为0.618,你会因此比例协调而赏心悦目.

欣赏对称性是在实践中对上一层发现的对称性进行鉴赏评价过程,这一阶段可根据我们对对称性的认识和情感体验分为3个层次:性观、性好、性妙.

(l) 性观主要是指我们能认识到数学对象形式上的对称、和谐、简洁,体验到它们给人的感官带来的性丽、漂亮的感受.

(2) 性好主要是指我们感受到数学对象的对称、和谐,进而领悟到数学世界的完整、对称、和谐,从而产生一种愉悦的情绪体验.如运用对称思想看待正、负整数指数幕,我们能体会到数学世界的完整、对称和谐,解答问题也就不费吹灰之力了.

(3) 性妙主要指我们运用对称思想来指导解答原本棘手的难题,问题迎刃而解的时候,或运用对称性装点生活时,能给人带来一种妙不可言的情绪体验.

当然,我们对对称性的感知能力不是单靠数学我们在课堂解题中传授和训练就能形成和提高的,主要应由我们在数学实践活动中,通过与对称性对象相互作用,包括对其观察、感受和体验,然后在这一过程中将数学的对称性的形式及性学思想方法内化为自身的审性认识结构的成分.这样,在内在的认知结构“图式”中就形成了一种对对称性的敏锐选择能力和认同能力,最终提高对对称性的感知能力. 4.4 回归生活实际,创造(或应用)对称性

有了前面认识、发现、欣赏对称性的一系列活动,我们形成了对对称性的规律性认识,再学习运用这些知识去猜想、探索、分析、解决数学问题,从而达到对称性的认知过程的最高要求——应用和创造对称性,形成稳固的数学的理性认知.

从素质教育的角度来看,数学解题的任务不仅是传授知识,更重要的是培养我们的综合素质,这其中就包括培养我们应用、创造数学性的能力.在解题中先引导我们感知、认识数学对象(如正多边形、圆形等对称图形)的对称性,再让我们走出课堂,深入社会生活,用眼观察、用心体会对称图形在建筑、园林、图案设计等方面的广泛应用,让我们寻找和欣赏生活中的对称性.

认清对称性的认知过程可以把握对称性在解题中应遵循的认知规律,有利于我们利用对称性在中学数学解题中开展工作.对称性的认知过程体现出对称性的解题活动应是一个渐进的、活动的过程,是一个长时期、连续性的解题过程,而不是短期的解题行为.对对称性的认知过程必须强调以我们为主体的思想,应以解题实践为基础,以渗透为

9