数学的对称性及其在若干数学问题中的应用本科毕业论文

2.关于对称性的概述

2.1 对称的概念

“对称”一词,译自希腊语,其含义是“和谐”、“性观”,原义指“在一些物品的 布置时出现的般配与和谐”.我国老一辈数学家段学复教授也说过:“对称,照字面来讲,就是两个东西相对而又相称(或者说相仿、相等).因此,把这两个东西互换一下,好像没动一样”.在现实世界中,形式上和内容上的对称性,广泛地存在于客观事物之中,既有轴对称、中心对称、镜面对称等等的空间对称,又有周期、节奏和旋律的时间对称.对称性,作为数学性的主要表现形式之一,其数学的实质就是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现,是组元的一个构形在其自同构变换群作用下具有的不变性.数学就是它的根本,并且很难找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。

对称意味着均势、对等、平衡、稳定、和谐、自然、美好;而“非对称”在当下世界、社会成为经常性语言,说明这个世界、社会还不够公道,不够和谐。我们可以用对称思想方法找到对称的基点,处理好世界、社会中的各种“非对称”矛盾,使其回归对称的自然和谐。

对称性不仅能给人以性的感受,陶冶人的情操,而且它在科学研究和促进人的发展等方面也有着重要的作用.下面就对称性在科学发展、文学创作及促进我们全面发展等几方面所起到的作用作一些论述. 2.2 对称性的作用

2.2.1 对称性在数学发展中的作用

从数学发展的历史来看,对称性是数学发现中的重要的性学因素.对于对称性的追求,曾在一定程度上促进了数学的发展,成为人们试图用以领悟和创造秩序、性和完善性的重要观念.由对称性因素和对称性的考虑而引出的新概念和新理论不胜枚举,如:奇数和偶数、质数与合数、正数与负数、左极限与右极限、

“共轭”复数、“三角”中的正弦与余弦、正切与余切、正割与余割等等都可视为对称中的对偶概念.

从运算关系角度看?与?、?与?、乘幂与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵,这些互逆运算可视为\对称\关系;从函数角度看函数与反函数可视为一种“对称”;从命题的角度去看定理与逆定理、命题与逆命题等也存在着对称关系.各种逆运算的建立,一系列数域的扩张均与对称性因素密切相关;由常量到变量,由确定性到随机性,由有限到无限,由精确到模糊等等,无不显示了对称性性学因素在数学发展

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中的重要作用,显示了数学发现中追求对称性的重要意义. 2.2.2 对称性在促进我们全面发展中的作用

对称在数学中是普遍存在的,充分认识数学对称性的价值,能使我们学会从性学的角度去欣赏数学、学习数学、发展数学,从而把数学学习与研究活动变得充满情趣,富有魅力.

性的形象易于培养我们的感知能力,在头脑里形成长时记忆,利用数学对称性的价值进行数学学习,有利于我们加深对数学基础知识的理解,帮助我们掌握数学思想方法,从而发展我们的数学思维,培养其数学能力.

第六届国际数学教育会议提出“:数学教育还必须将数学中所固有的性展示给我们,使我们不仅获得知识,而且还受到性的熏陶.”从认识论的角度看,性学在数学解题中的渗透,可以提高我们对性的鉴赏能力,增加他们的审性情趣.解题中通过对数学对称性的分析、揭示,使我们在感受、鉴赏、应用、创造对称性的过程中丰富其情感体验;引发其学习兴趣和热情;开发我们的非智力因素.用对称性充实我们的头脑,对促进我们全面发展有着较大的推动作用.

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3.数学对称性的表现形式

数学作为研究现实世界的空间形式与数量关系的科学,渗透着圆满和自然的性,在公式、图形、结构等方面表现出来的对称、均衡性质的数学结果,在数学的形式性中称之为对称性. 3.1 图形的对称性

图形的对称具有直观性,能给人带来性的感受,中学数学几何图形中的对称图形是典型的视觉对称性.平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称、空间图形的平面对称都是很好的体现.比如,圆既是中心对称而且所有过对称中心的直线都是对称轴:球一向被看作是简洁性丽的几何体,它是中心对称而且所有过对称中心的平面都是对称平面.

在三角函数图象中,y?sinx的图象关于原点对称,y?cosx的图象关于y轴对称,它们形似起伏的波浪,周而复始地向两方无限延伸; y?tanx与y?cotx的图象均关于原点对称,它们分别是由被互相平行直线x?k???2，x?k?（k?z）隔开的无穷多支相

同的曲线所组成的,它们形似飞流的瀑布,上顶天下立地,引人遐思.

正弦型函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图象是正弦曲线的发展,它内含了一组组和谐有序的性丽图案,这些图案不仅让人赏心悦目,而且也使人浮想联翩,因为通过图象之间的观察比较,可使我们从形的角度进一步认识到不同三角函数之间的内在联系,而且也为弄清一般函数图象的变换规律提供了依据.

此外,函数y?f(x)的图象与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称,指数函数y?ax(a?0且a?1)与y?a?x(a?0且a?1)的图象关于y轴对称,解析几何中的椭圆

x2y2?2?1图形关于x轴、y轴、原点均对称. 2ab 3.2 公式的对称性

公式的对称主要是指公式中不同运算符号的可易性,运算秩序的可交换性.公式的对称不像图形的对称那样直观,它表现得比较灵活,如：

(a?b)2?a2?2ab?b2,(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3,c2?a2?b2?2abcosC,

这里a、b可以互换,公式仍然成立.

下面以三角函数为例,来谈谈公式中的对称性:

两角和与差的三角函数公式,主要包括和、差、倍、半4组,还有和差化积的互化两

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组,其中两角和与差正弦公式是:

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin(???)?sin?cos??cos?sin?

两角和与差的余弦公式是:

cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin?

它们的展开式均给人一种对称性,读起来又给人一种节奏性.当我们将半角公式写成下面的形式时,也给人一种对称性:

sin?2??1?cos??1?cos? tan? 22sin?1?cos??1?cos? cot? 22sin?cos?2??此外,三倍角的正弦和余弦公式、正切公式(该公式高中阶段不要求掌握)都 可写成具有对称性的形式：

sin3??4sin(60???)sin?sin(60???)

cos3??4cos(60???)cos?cos(60???)

tan3??tan(60???)tan?tan(60???)

这些都是两角和与差的公式中外在的对称性,从变换的角度来看,和、差、倍、半密切相联,这便是两角和与差的公式中内在结构的和谐性.在数学中,对称与和谐密不可分. 3.3 定理的对称性

数学的对称性也表现为数学中各种概念和定理间的对称性.如正弦定理:

?sinA??sinB??sinC＝2R

简洁地概括了三角形边、角及与外接圆半径之间的关系,结构精巧、对称.从更广泛的意义上讲,奇数与偶数(从奇偶性上区分),质数与合数(从可分解性区分)也可视为对称关系.从运算关系角度看:+与一、×与÷、乘幕与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等等,这些互逆运算都可视为\对称\关系;从函数角度看:函数与反函数也可视为一种\对称\更一般的,变换与反变换、映像与逆映像等也属于对称);从命题的角度去看:原定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着对称关系(如下图)

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