高考数学二轮增分策略：第4篇第3讲三角函数、解三角形、平面向量（含答案）

3．三角函数、解三角形、平面向量

1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．

任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝x＋y>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．

[问题1] 已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1. sin α(2)商数关系：tan α＝.

cos α(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限

角 －α π－α sin α π＋α 2π－α π－α 22

2

22yrxryx正弦 －sin α 余弦 －sin α －sin α cos α sin α cos α －cos α －cos α cos α 9π?7π?[问题2] cos ＋tan?－?＋sin 21π的值为_______________________________． 4?6?3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；

π

(2)对称轴：y＝sin x，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cos x，x＝kπ，k∈Z；

2

1

π???kπ?对称中心：y＝sin x，(kπ，0)，k∈Z；y＝cos x，?kπ＋，0?，k∈Z；y＝tan x，?，0?，2???2?

k∈Z.

(3)单调区间：

??y＝sin x的增区间：?－＋2kπ，＋2kπ? (k∈Z)，

?

3π?π?减区间：?＋2kπ，＋2kπ? (k∈Z)；

2?2?

π?2

π2

y＝cos x的增区间：[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)，

减区间：[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)；

??y＝tan x的增区间：?－＋kπ，＋kπ? (k∈Z)．

?

(4)周期性与奇偶性：

π?2

π2

y＝sin x的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cos x的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tan x的最小正周期为π，为奇函数．

易错警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；

?π?(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为?0，?.

2??

π??[问题3] 函数y＝sin?－2x＋?的递减区间是________________．

3??4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

令α＝βsin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.

令α＝β222cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β――→cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα.

tan α±tan βtan(α±β)＝.

1?tan αtan β1＋cos 2α1－cos 2α2tan α22

cosα＝，sinα＝，tan 2α＝. 2

221－tanα在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：

2

α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝[(α＋β)＋(α－β)]．

1

2

2

α＋＝(α＋β)－?β－?，α＝?α＋?－.

44

π

4

??

π??

??

π?π?4

[问题4] 已知α，β∈?＝________. 5．解三角形

?3π，π?，sin(α＋β)＝－3，sin?β－π?＝12，则cos?α＋π????4?4?5?4???13??

(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的

sin Asin Bsin C一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；2R2R2R(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中A>B?sin

abcabcA>sin B.

b2＋c2－a2

(2)余弦定理：a＝b＋c－2bccos A，cos A＝等，常选用余弦定理判定三角形的

2bc2

2

2

形状．

[问题5] 在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，则B＝________. 6．向量的平行与垂直

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.

a⊥b (a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．

[问题6] 下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若

a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是________．

7．向量的数量积 |a|＝a＝a·a，

2

2

a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，

a·bx1x2＋y1y2

＝2， 222

|a||b|x1＋y1x2＋y2

a·bx1x2＋y1y2

a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝. 2|b|x22＋y2

cos θ＝

注意：〈a，b〉为锐角?a·b>0且a、b不同向； 〈a，b〉为直角?a·b＝0且a、b≠0； 〈a，b〉为钝角?a·b<0且a、b不反向．

易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．

3

[问题7] 已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________． 8．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行． [问题8] 下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a＝|a|.其中2

2

正确命题是________． 9．几个向量常用结论

(1)→PA＋→PB＋→

PC＝0?P为△ABC的重心；

(2)→PA·→PB＝→PB·→PC＝→PC·→

PA?P为△ABC的垂心；

→

(3)向量λ(AB＋AC→

) (λ≠0)所在直线过△ABC的内心；

|→AB||→AC|(4)|→PA|＝|→PB|＝|→

PC|?P为△ABC的外心．

易错点1 忽视角的范围

例1 已知sin α＝

55，sin β＝1010

，且α，β为锐角，则α＋β＝________. 错因分析 只考虑α，β为锐角． 没有注意到 sin α＝55，sin β＝1010

本身对角的范围的限制，造成错解． 解析 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin2

α＝25

5

， cos β＝1－sin2

β＝310

10

.

4