初等数论模拟试题

A．a2?2(mod4) B．a2?5(mod7) C．a2?5(mod11)

D．a2?6(mod13)

34. 设p为单质数，??0，(a,p)?1，则x2?a(modp?)有解的充分必要

条件是( ) A．()??1

paa B．()?0

papa

C．()?1

p D．()?()

pa35. 设p为单质数，(a,p)?1，则a是模p的平方剩余的充分必要条件是

( )

p?1p?1A．a2??1(modp)

p?12(modp)

B．a2?1(modp)

p?12(modp)

C．a?36.

?35?????135? D．a??( )

B．0 D．2

A．-1 C．1

37. 同余式x2?1(mod72)的解数是( ) A．0 B．1 C．2 D．4 38. 同余式x2≡1 (mod 8)的解数是( )

A．1 B．2 C．4 D．8 39. 同余式x2≡49 (mod 2160)的解数是( )

A．8 B．16 C．32 D．64 40. 以下正确的是( )

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A． ??C． ??

18???1????? 1111????

B．??12??3?????? ?5??5?7??4????? ?11??11?5??5????? ?12??2?

D．??二、判断题(认为对的在题后的括号内打“√”，错的打“×”。每小题1分)

1. 设a,b为整数，若a|a?b，则a|b； 2. 设a，b为整数，m为正整数，则(am，bm) =(a，b)m； 3. 若7|ab，则7|a,7|b至少有一个成立； 4. 公倍数一定是最小公倍数的倍数； 5. 0是所有整数的倍数，±1是所有整数的约数； 6. 当a,b,c为整数时(a,b)?(a,b,c)； 7. 对任意整数x都有?[?x]?[x]； 8. 设x,y,z为正整数，则[x,y,z](xy,yz,zx)?xyz； 9. 有些整数的完全剩余系中的数可以都是偶数； 10. 若整数n与素数p不互素，则必有p|n； 11. ?(24)??(4)?(6)； 12. 若m为正整数，a为整数，则am+4≡am(mod 10)； 13. 设n为正整数，则?(n?1)??(n)； 14. 若a,b为正整数，?为欧拉函数，则?(ab)?[a,b]?((a,b))；15. 正整数n除以9的余数就是其各位数字之和除以9的余数；16. 若正整数a,b,c,m满足ac?bc(modm)，则a?b(mod)m； 17. 若正整数a,b,c,m满足a?b(modm)，则ac?bc(modmc)； 第6页（共10页）

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

18. 设m?1,a,b是整数，若x遍取模m的一个完全剩余系，则ax?b也遍取

模m的一个完全剩余系；

( )

19. 设m?1,a,b是整数，(a,m)?1，若x遍取模m的一个简化剩余系，则

ax?b也遍取模m的一个简化剩余系； ( )

20. 若p是素数，则(p?1)!??1(modp)； ( ) 21. 不定方程3x+12y=21有3个解； ( ) 22. 不定方程5x?4y?11有正整数解； ( ) 23. 不定方程5x?4y?11与10x?8y?22是同解的； ( ) 24. 一次不定方程的非负整数解比正整数解多； ( ) 25. 满足勾股方程x2+y2=z2的整数x，y必是一奇一偶； ( ) 26. 设整数x,y,z满足方程x2?y2?z2，则必有2?|x?y； ( ) 27. 设整数x,y,z满足方程x2?y2?z2，则必有3|x或3|y； ( ) 28. 设整数x,y,z满足方程x2?y2?z2，则必有5整除x,y,z之一； ( ) 29. 勾股三角形的面积一定是6的倍数； ( ) 30. 不定方程x2?y2?z2无xyz?0的解； ( ) 31. 同余式ax≡b(mod m)有解的充要条件是不定方程ax+my=b有解；( ) 32. 设(a，m)=1，则x?ba?(m)?1(modm)是ax≡b (mod m)的解；

( )

33. 设p为奇素数，f(x)为整系数多项式，p? f ′(x)，则同余式f(x) ≡ 0(mod pα)，

α?1 有解当且仅当f (x) ≡0 (mod p) 有解； ( ) 34. 设p为素数，则同余式xp?1?0(modp)有p-1个根；

( )

35. 同余式x2 ≡1 (mod m)与(x-1) (x+1)≡0(mod m)等价； ( ) 36. 一次同余方程组总是有解；

( )

m237. 已知0

38. 若(c,m)?1，则同余式cax?cb(modm)与ax?b(modm)等价； ( )

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39. 若(c,m)?1，则同余式cax?cb(modcm)与ax?b(modm)等价； ( ) 40. 若ab?0(modm)则a?0(modm) 或b?0(modm)； ( ) 41. 若素数p?3(mod4)，则整数a是p的平方非剩余当且仅当同余方程

x??a(modp)有解；

2 ( )

有解当且仅当an?1242. 二次同余式x ≡a (mod n)

2

≡ 1(mod n)； ( )

( )

43. 二次同余式x2 ≡73 (mod 192) 有8个解；

44. 设m=p1 p2…pk，其中pi，i=1，2，…，k为奇素数，则

?a1a2?ak??a1??a2??ak???????????m???p1??p2??pk? ( )

45. -1是奇素数模p的平方剩余当且仅当p ≡ ±1(mod 8)； ( )

46. 在判断奇数模的平方剩余和平方非剩余时，勒让得符号和雅克比符号

的功用完全是一样的。 ( ) 47. 在判断奇素数模的平方剩余和平方非剩余时，勒让得符号和雅克比符

号的功用完全是一样的。 ( ) 48. 设a， n， m为正整数，则同余方程xn ≡(mod m)至多有n个解。( ) 49. 设p是奇素数，则模p的两个二次非剩余的乘积是二次非剩余；( ) 50. 设p是奇素数，则模p的二次剩余和二次非剩余的个数相同； ( )

三、简答题(每小题5分)

1. 求532,336的最大公约数与最小公倍数。 2. 设n是不能被3整除的奇数，证明：24|n2?1。 3. 证明：对于任何正整数n,2n?1不是7的倍数。 Key: 由23?1(mod7)可令n?3q?r(r?0,1,2)，

nrn则2?2?1,2,4(mod7)，因而2?1?2,3,5(mod7)， 所以对任意正整数n，2n?1都不是7的倍数。

4. 求满足(a,b)[a,b]?60,(a,b)?[a,b]?32的全部正整数组a,b。 5. 设a,b,c,d是整数，证明：(a,b)(c,d)?(ac,ad,bc,bd)。

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