北师大版选修1-1 阶段质量检测(3) 变化率与导数

4．选A 由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.

?4?2

5．选D 由题意，f′(x)＝1＋x，故切线的斜率为k＝f′(1)＝2，又切线过点?1，?，∴切线方程

?3?

4212为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为(，0)，(0，－)．

3333

1121故所求三角形的面积＝××＝.

23396．选D 设切点为(x0，y0)，则6x0－3＝3. ∴x0＝1，则x0＝±1.

当x0＝1时，y0＝－1；x0＝－1时，y0＝1，故选D. 7．选D ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)． ∴f′(1)＝－2，即f(x)＝x－4x. ∴f′(x)＝2x－4， ∴f′(0)＝－4.

8．选A ∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝3x＋2ax＋b.

??f′得??f′?

2

2

2

2

1＝3＋2a＋b＝－2，

－1＝3－2a＋b＝－2，

3

解得a＝0，b＝－5，

∴f(x)＝x－5x，x∈[－3,3]，f(x)为奇函数． 429．选C 令f ′(x)＝2x－2－＝

x

x－2

xx＋1

＞0，

利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0， 所以x＞2.

10．选B y′＝3x－6x＋3－3＝3(x－1)－3≥－3，即tan α≥－3，

2

2

?π??2π?所以α∈?0，?∪?，π?.

2??3??

11．解析：f′(x)＝?

1－2

?1＋1?′＝－cos x＋sin x，

?22sinxcosx?sin xcos x?

?π?∴f′??＝

?3????

322＋＝－＋23.

33?2?1?2

???

2??2?

2

答案：－＋23

3

12．解析：∵y′＝3x－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，则曲线C在点P处切线的斜率k＝3x0－10＝2，

∴x0＝－2.

2

2

∴点P的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)

13．解析：∵f′(x)＝3x＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0， ∴f′(x)＝3x－3，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x. 答案：y＝－3x

12

14．解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤.

121??答案：?－∞，? 12??

t－1t111222

15．解：∵s(t)＝2＋2t＝2－2＋2t＝－2＋2t，

ttttt11

∴s′(t)＝－2＋2·3＋4t，

tt12323

∴s′(3)＝－＋＋12＝，

92727

323

即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.

27

16．解：(1)由题意设f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)， 则f′(x)＝3ax＋2bx＋c. f0??f′由已知?f′

??f′

＝d＝3，0＝c＝0，

2＝12a＋4b＋c＝0，

2

3

2

2

2

1＝3a＋2b＋c＝－3，

解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3. 故f(x)＝x－3x＋3.

(2)由题意设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.

所以x(2ax＋b)－(2x－1)(ax＋bx＋c)＝1， 化简得(a－b)x＋(b－2c)x＋c＝1， a＝b，??

此式对任意x都成立，所以?b＝2c，

??c＝1，

2

2

2

2

2

3

2

得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x＋2x＋1. 17．解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x＋ax上， ∴2＝1＋a，∴a＝1，

函数f(x)＝x＋ax和g(x)＝x＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处

3

2

2

3

有公切线，

∴3×1＋a＝2×1＋b，得b＝2，

又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x＋bx＋c上可得2＝1＋2×1＋c，得c＝－1. 综上，a＝1，b＝2，c＝－1.

18．解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意可知k1＝f′(1)＝3，故直线l1的方程为y＝3x－3，

11

由l1⊥l2，可知直线l2的斜率为－，设l2与曲线相切于点Q(x0，y0)，则k2＝f′(x0)＝－，

33220

解得x0＝－，代入曲线方程解得y0＝－，

39

2012

故直线l2的方程为y＋＝－(x＋)，化简得到3x＋9y＋22＝0.

933

2

2

2

?22?(2)直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，?－，0?，

?3?

?3x－y－3＝0，?

联立?

??3x＋9y＋22＝0

5??1

解得两直线交点坐标为?，－?，

2??6

1225125

故所求三角形的面积S＝×|－－1|×|－|＝.

23212