广东省佛山市南海区桂城中学高三数学下学期七校联合交流试题 理

（Ⅱ）区域U的面积为8(图中矩形ABDE的面积)，区域V的面积为4（图中△ABC面积）， 7分 ∴在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率为

41?． 8分 82X的取值为0，1，2，3．随机变量X满足二项分布，即X:B(3,) 9分 ∵P?X?0??0?C3?121??1?1????，

8?2??2?1203P?X?1??1?C3?1??1?3????，

8?2??2?1??1?3????， 2???2?8图6

21P?X?2??2?C3?13?1??1?P?X?3??C3?????． 11分

8?2??2?∴Ｘ的分布列为

Ｘ ０ １ ２ 3 30P?X? 1331 8888

数学期望E?X??0?13313?1??2??3??． 12分 8888218【解析】（Ⅰ）证明：因为?ABC=45°，AB=22，BC=4，所以在?ABC中，由余弦定理

222o得：AC=(22)+4-2?22?4cos45=8，解得AC=22，

所以AB+AC=8+8=16=BC，即AB?AC，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB， 又PA?AC?A，所以AB?平面PAC，又AB∥CD，所以CD?平面PAC，又因为

222CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；-----5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作AH?PC于H，则

AH?平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD内，所以AB平行于平面PCD，所以点A到

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平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作BO⊥平面PCD于点O，则?PBO为所求角，且AH=BO，又易求AH=2，所以sin?PBO=31，即cos?PBO=，所以

22直线PB与平面PCD所成角的余弦为

3；----10分 2（Ⅲ）由（Ⅰ）AC?AB，PA?AB，所以AB?平面PAC，QA?平面PAC，所以

AB?QA，根据二面角定义，?QAC为二面角Q?AB?D的平面角，即?QAC=?4，又

三角形PAB为等腰三角形，PA=AB=22，所以PA=AC，即?PAC为等腰直角三角形，可得Q点为PC中点，所以Q到底面的距离为

2，在?AED中，AE=2，易算得DE=2，

3113?AED??，所以VE?AQD?VQ?AED??S?AED?2，又S?AED?AE?DE?sin??1

4324所以所求体积VE?AQD?2.---------14分 32'19、解（1）由已知可设：f(x)?ax?bx?c(a?0),f(x)?2ax?b，由切线方程可知：

f'(3)?6a?b?3，①f(3)?9a?3b?c?2，②

又因为f(3?x)?a(3?x)?b(3?x)?c?ax?bx?c可得：b??3a③，

综合①②③解得：a?1,b??3,c?2?f(x)?x?3x?2,x?R，因为f(1)?0,f(2)?0.所以f(x)的零点为：x?1,x?2。--------5分

n?1 （2）①f(1)g(1)?an?bn?1,?an?bn?1.

222f(2)g(2)?2an?bn?2n?1,?2an?bn?2n?1.所以an?2n?1?1,bn?2?2n?1. ----10分

②CnCn?1?(2n?2?2n?1)2?(2n?1?2n?2)2?2?2n?1.

n?1 设?rn?的公比为q,则rn?rn?1?rn(1?q)?CnCn?1?2?2.----12分

?rn?1(1?q)?2?2n?2,?rn?12n?12832?n?2,则rn?2,rn?()?4n,?Sn?(4?1), rn3927Sn32?94n?14?14? ?2???n?[1?()n]?.------14分

278343rn4

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20解: （I）设P(x,y),则有F1P?(x?c,y),F2P?(x?c,y)

a2?12PF1?PF2?x?y?c?x?1?c2,x???a,a? 2a22222由PF1?PF2最小值为0得1?c?0?c?1?a?2,

x2∴椭圆C的方程为?y2?1 ………………4分

2（II）把l1的方程代入椭圆方程得(1?2k)x?4mkx?2m?2?0 ∵直线l1与椭圆C相切,∴??16km?4(1?2k)(2m?2)?0,化简得

2222222m2?1?2k2

同理可得:n2?1?2k2

∴m2?n2,若m?n,则l1,l2重合,不合题意, ∴m??n,即m?n?0 …………………8分 设在x轴上存在点Q(t,0),点Q到直线l1,l2的距离之积为1,则

|kt?m||kt?m|??1,即|k2t2?m2|?k2?1, k2?1k2?1把1?2k2?m2代入并去绝对值整理, k(t?3)?2或者k(t?1)?0

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k?R恒成立 则t2?1?0,解得t??1; 综上所述,满足题意的定点Q存在,其坐标为(?1,0)或(1,0) …………………14分 21（1）Qf?(x)?22221,?f(x)?lnx?c,又f(1)?0, x即f(1)?ln1?c?0,?c?0.?f(x)?lnx.-------3分 （2）g(x)?xx[a?f(x)]?(a?lnx) 1?x1?xxx1a?lnx?1?x)?(a?lnx)??? 21?x1?xx(1?x)对g(x)求导得：g?(x)?(令g?(x)?0,得：a?lnx?1?x?0??a?lnx?1?x.

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令h(x)?lnx?1?x(x?0)，则h?(x)?1?1?0,故h(x)是?0,???上的增函数。 x又由于h(x)的值域是???,???，故对?a?R方程?a?lnx?1?x有唯一实数解x1。6分

当0?x?x1时，h(x)?h(x1)??a,g?(x)?0,函数g(x)是?0,x1?上的减函数； 当x?x1时，h(x)?h(x1)??a,g?(x)?0,函数g(x)是?x1,???上的增函数。 故当x?x1时,函数g(x)取极小值g(x1)?（3）g(x)?x1x(a?lnx1)?1(?1?x1)??x1.-9分 1?x11?x1xxa?lnx?(a?lnx)， 1?x1?xa11nln2*令x?n，n?N，则g(n)??.

221?2n1?2nQ1?2n?1?(1?1)n?1?1?n?n(n?1)?L 2n(n?1)?1?2n?n,且当n?2时，1?2n?

2aa2ln21nln2a2nln2g(n)?????? 21?2n1?2nnn(n?1)nn?1aM2ln2Ma4ln2?,?n?2,n?1?. 令，解得：n2n?12MM取整数n0满足n0?2a4ln2,n0?1?,且n0?2， MM则g(an0ln2a2ln2MM1)???????M. n0n0n021?21?2n0n0?1221?(0,1)，则g(x0)?M. 2n0x g(x)?a?lnx

1?x取x0?①若e?a?(0,1)，即a?0时，取x0?e?a?(0,1)，则g(x0)?0?M; ?(0,1)，即a?0时，令x?②若e?aa11nln2*n?N，，则 g()??nnn2n21?21?2------14分

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