2019-2020年高考总复习文数(人教版)讲义：第06章 数列 第4节 数列求和 Word版含答案

2n＋3

∴Sn＝6－n－1，n∈N*.

2[刷好题]

(2018·漳州质检)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，a2－1＝4， a2－1

＝2， a1－1

∴an－1＝2·2n1＝2n，

－

∴an＝2n＋1.

(2)bn＝nan＝n·2n＋n，

故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)． 令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n1，

＋

两式相减，得－T＝2＋2＋2＋…＋2－n·2∴T＝2(1－2n)＋n·2n1＝2＋(n－1)·2n1.

＋

＋

23nn＋1

2?1－2n?＋

＝－n·2n1，

1－2

n?n＋1?

∵1＋2＋3＋…＋n＝，

2∴Tn＝(n－1)·2

n＋1

n2＋n＋4

＋.

2

裂项相消法求和 [析考情]

裂项法求和在高考中经常考查，多以解答题的形式考查，并且往往出现在第二问，难度属中低档．

[提能力]

1

命题点1：an＝型裂项求和

?n＋k??n＋p?

【典例1】 数列{an}的前n项和为Sn＝2n1－2，数列{bn}是首项为a1，公差为d(d≠0)

＋

的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

2

(2)若cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.

?n＋1?bn解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n1－2n＝2n，

＋

又a1＝S1＝211－2＝2＝21，也满足上式，

＋

所以数列{an}的通项公式为an＝2n.则b1＝a1＝2. 由b1，b3，b9成等比数列，得(2＋2d)2＝2×(2＋8d)， 解得d＝0(舍去)或d＝2， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n.

2111

(2)由(1)得cn＝＝＝－，

?n＋1?bnn?n＋1?nn＋1所以数列{cn}的前n项和Tn＝－

11n＝1－＝. n＋1n＋1n＋1

n＋1命题点2：形如an＝2的数列求和

n?n＋2?222

【典例2】 (2018·潍坊模拟)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋

11111111

＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋

223n1×22×33×4n×?n＋1?

n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

n＋15*

(2)令bn＝. 22，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N，都有Tn<64?n＋2?an

22(1)解：由S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，

得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.

由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.

于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 又a1＝2也满足上式，

综上，数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)证明：由于an＝2n，

1?n＋1n＋11?1

－2故bn＝＝＝2.

?n＋2?2a24n2?n＋2?216?n?n＋2??nTn

＝

116

?1－12＋12－12＋12－12＋…＋12－12＋12－12?

?n－1??n＋1?n?n＋2???32435

＝

1

16

?1＋12－12－12?<1?1＋12?＝5. ?2?n＋1??n＋2??16?2?64

[悟技法]

利用裂项相消法求和的注意事项

(1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

[刷好题]

1

1．(2018·福州质检)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记

f?n＋1?＋f?n?数列{an}的前n项和为Sn，则S2 016＝( )

A．2 015－1 C．2 017－1

B．2 016－1 D．2 017＋1

11

解析：选C 由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x. 22

11

∴an＝＝＝n＋1－n，S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝(2－

f?n＋1?＋f?n?n＋1＋n1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2 016－2 015)＋(2 017－2 016)＝2 017－1. 2．(2018·沈阳质检)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列{an}的通项公式；

an＋1

(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

SnSn＋1解：(1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，

???a1＝1，?a1＝8，

又a1＋a4＝9，可解得?或?(舍去)．

?a4＝8???a4＝1

设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2， 故an＝a1qn1＝2n1，n∈N*.

－

－

a1?1－qn?n

(2)Sn＝＝2－1，

1－q

an＋1Sn＋1－Sn11

又bn＝＝＝－，

SnSn＋1SnSn＋1SnSn＋1所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

11?11??11?－＋－＋…＋?S－＝? S?SS??SS?1

2

2

3

?

nn＋1

?

11＝－ S1Sn＋1

1

＝1－n＋1，n∈N*.

2－1