（毕节专版）2019年中考数学复习 专题8 二次函数与几何图形的综合（精讲）试题

专题八 二次函数与几何图形的综合

毕节中考备考攻略

二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.

1.二次函数与线段的长

(1)一般设抛物线上点的横坐标为x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；

(2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值； (3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决. 2.二次函数与图形的面积

(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；

(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；

(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积. 3.二次函数与特殊三角形

(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论； (2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论. 4.二次函数与特殊四边形

此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.

5.二次函数与相似三角形

结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.

中考重难点突破

二次函数与线段的长

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例1 (2018·遂宁中考改编)如图,已知抛物线y＝ax＋x＋4的对称轴是直线x＝3,且与x轴相交于A,B两

2点(B点在A点右侧),与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；

(2)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN＝3时,求点M的坐标. 【解析】(1)由抛物线的对称轴x＝3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标；

(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解

1

析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MN∥y轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN＝3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.

32312

【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax＋x＋4的对称轴是直线x＝3,∴－＝3,解得a＝－,

22a4123

∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4.

42123

当y＝0时,－x＋x＋4＝0,

42解得x1＝－2,x2＝8.

∴点A的坐标为(－2,0),点B的坐标为(8,0)； 123

(2)当x＝0时,y＝－x＋x＋4＝4,

42∴点C的坐标为(0,4).

设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 将B(8,0),C(0,4)代入y＝kx＋b,得

???k＝－，?8k＋b＝0，2 ?解得?

?b＝4，??

?b＝4，

1

∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.

2

1231????设点M的坐标为?m，－m＋m＋4?,则点N的坐标为?m，－m＋4?, 422????

1

?123?1??∴MN＝?－m＋m＋4－?－m＋4??

2?2???4?12?＝?－m＋2m?.

?4?

?12?又∵MN＝3,∴?－m＋2m?＝3.

?4?

1212

当－m＋2m≥0,即0≤m≤8时,－m＋2m＝3,解得m1＝2,m2＝6,

44此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).

12

同理,当－m＋2m＜0,即m>8或m<0时,点M的坐标为(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).

4综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).

2

1.(2018·安顺中考改编)如图,已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).

2

(1)若直线y＝mx＋n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标. 解：(1)依题意,得 ??－b

?2a

＝－1，a＋b＋c＝0， ??c＝3，?解得?

a＝－1，?b＝－2，

??c＝3，

∴抛物线的解析式为y＝－x2

－2x＋3. 令y＝0,则－x2

－2x＋3＝0, 解得x1＝1,x2＝－3, ∴点B(－3,0).

把B(－3,0),C(0,3)代入y＝mx＋n,得

???－3m＋n＝0，??

n＝3， 解得???m＝1，??

n＝3，

∴直线BC的解析式为y＝x＋3；

(2)设直线BC与x＝－1的交点为M,连接AM. ∵点A,B关于抛物线的对称轴对称, ∴MA＝MB,

∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC,

∴当点M为直线BC与x＝－1的交点时,MA＋MC的值最小. 把x＝－1代入y＝x＋3,得y＝2, ∴M(－1,2).

二次函数与图形的面积

例2 (2018·达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(7

2,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积.

3

?7?【解析】(1)设交点式y＝ax?x－?,然后把A点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式； ?2?

(2)延长CA交y轴于点D,易得OA＝2,∠DOA＝45°,则可判断△AOD为等腰直角三角形,由此可求出D点坐标,利用待定系数法求出直线AD的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程,解方程可得点C的坐标,利用三角形面积公式及S△AOC＝S△COD－S△AOD进行计算,进而得出△AOC的面积.

?7?【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax?x－?. ?2?

2?7?把A(1,1)代入y＝ax?x－?,可得a＝－, 5?2?2?7?∴抛物线的解析式为y＝－x?x－?,

5?2?227

即y＝－x＋x；

55(2)延长CA交y轴于点D. ∵A(1,1),∠OAC＝90°, ∴OA＝2,∠DOA＝45°, ∴△AOD为等腰直角三角形, ∴OD＝2OA＝2,∴D(0,2).

由点A(1,1),D(0,2),得直线AD的解析式为y＝－x＋2. 227

令－x＋x＝－x＋2,解得x1＝1,x2＝5.

55当x＝5时,y＝－x＋2＝－3,∴C(5,－3), 11

∴S△AOC＝S△COD－S△AOD＝×2×5－×2×1＝4.

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2.(2018·眉山中考改编)如图,已知抛物线y＝ax＋bx＋c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l：x＝2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大？并求出其最大

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