（江苏专版）2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题2三角函数、解三角形、平面向量第10讲高考中的三

?π?[解] (1)由题意，若sin?A＋?＝2sin A，

4??

则

22

sin A＋cos A＝2sin A， 2分 2222

cos A＝sin A， 4分 22

即

可得tan A＝1，由A∈(0，π)，

π

故A＝. 6分

4

(2)在△ABC中，sin B＋sin C＝2sin A，由正弦定理可得：b＋c＝2a， 8分 1b＋c－a1

由cos A＝，得cos A＝＝，

22bc2

故b＋c－a＝bc，又b＋c＝2a， 10分 则(b＋c)－a＝3bc＝3a，故a＝bc＝?

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?b＋c?2，

??2?

可得(b－c)＝0，故b＝c， 13分 则b＝c＝a，故△ABC为正三角形. 14分

3．如图10－3是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，

OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，

且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)，在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k，设OA＝x，OB＝y.

图10－3

(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)求N－M的最大值及相应的x的值．

[解] (1)因为OA＝x，OB＝x，AB＝y＋1， 1分

x2－1由余弦定理，x＋y－2xycos 120°＝(y＋1)，解得y＝， 3分

2－x2

2

2

x2－11＋3

由x＞0，y＞0得1＜x＜2，又x＞y，得x＞，解得1＜x＜，5分

2－x2

?1＋3?

所以OA的取值范围是?1，?. 6分

2??

(2)M＝kOB＝ky，N＝43k·S△AOC＝3kx，

9

2

则N－M＝k(3x－y)＝k???

3x－x－12－x???， 8分 设2－x＝t∈?

?3－3?2，1???

，

2

则N－M＝k??2－t－1?32－t－t???

＝k???10－??3?4t＋t???????

≤k??

10－2

4t·3?

t??

＝(10－43)k. 12分 当且仅当4t＝33?3－3?3

t，即t＝2∈??2，1??取等号，此时x＝2－2取等号， 所以当x＝2－3

2

时，N－M的最大值是(10－43)k. 14分

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