第七讲 培优竞赛全等三角形问题中常见的辅助线的作法

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四、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

A B

应用：

DFEC1、已知四边形ABCD中，AB?AD，BC?CD，AB?BC，∠ABC?120?，

∠MBN?60?，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）

于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时（如图1），易证AE?CF?EF．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A

B E

M

B A

E M

D

B F C A

C F D

C N

F D

E M

N

N

（图3）

（图1） （图2）

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例2、D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1） 当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。 B

A E

CMA F N

应用：直线CD经过?BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且?BEC??CFA???．

（1）若直线CD经过?BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若?BCA?90?,???90?，则EF BE?AF（填“?”，“?”或“?”号）；

??②如图2，若0??BCA?180，若使①中的结论仍然成立，则 ??与?BCA 应满足的

关系是 ；

（2）如图3，若直线CD经过?BCA的外部，????BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

B

E C 图1

F D

C A

B B

E F D

A

图2

E C F A

图3

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