第7课时等差数列的前n项和(2)

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学习要求 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公

式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题

【自学评价】

1. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k ，(k∈N*)成_____________，公差为________.

2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在______.若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.

3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1)利用an:当an>0，d<0，前n项和有最大值可由

an≥0，且an?1≤0，求得n的值 当an<0，d>0，前n项和有最小值可由

an≤0，且an?1≥0，求得n的值 (2)利用Sn：由Sn?d2n2?(ad1?2)n二次函数配方法求得最值时n的值 【精典范例】

【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，求数列的项数n。

分析 条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。 【解】

【例2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它听课随笔

们的前n项和分别是Sn、Sn′，若

SnS'?2n?33n?1,求a9nb.

9【解法一】

【解法二】

【例3】数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. (1)求数列的公差.

(2)求前n项和Sn的最大值. (3)当Sn＞0时，求n的最大值. 【解】

点评： 可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{an}的前n项和取到最大值.

【例4】等差数列{an}中，a1?0,s9?s12,该数列的前多少项和最小？

思路1：

求出Sn的函数解析式（n的二次函数, n?N?）

，再求函数取得最小值时的n值. 思路2：

公差不为0的等差数前n项和最小的条件为：an?0,an?1?0,

思路3：

由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.

思维点拔： 说明：根据项的值判断前 项和的最值有以下结论：

①当a1?0,d?0时，

a1?a2?a3??an?an?1?， 则S1最小；

②当a1?0,d?0时，

a1?a2?a3??an?0?an?1?， 则Sn最大；

③当a1?0,d?0时，

a1?a2?a3??an?0?an?1?， 则Sn最小；

④当a1?0,d?0时，

a1?a2?a3??an?an?1?， 则Sn最大

【追踪训练一】

1. 已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（ ） A.25 B.35 C.36 D.45 2. 两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比SnS'?5n?3，则a5的值是（ ） n2n?7b5A．28485317 B．25 C．2327 D．15

3.在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝__________.

4.在等差数列{an}中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于______. 5.在等差数列{an}中，an=

32n－212,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？

【选修延伸】

【例5】 已知数列{an}的前n项和

Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.

【解】

听课随笔

【追踪训练二】 1. 在等差数列{an}中，已知S15=90,那么a8等于（ ） A.3 B.4 C.6 D.12 2.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ） A.9 B.10 C.11 D.12 3.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由ban=1?a2?????ann (n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（ ） A.112 n(n+5) B. 2n(n+4) C. 12n(2n+7) D.n(n+2) 4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于______. 5.已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑