2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修4 - 第2章 平面向2.2.1-2.2

方法归纳

1．向量减法运算的常用方法

2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差．

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．

→→→

跟踪训练2 在四边形ABCD中，AB－DC－CB＝________.

→→→→→→→→→→→解析：AB－DC－CB＝AB＋CD＋BC＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD→＝AD.

→

答案：AD

结合图形利用减法运算法则求．

类型三 利用已知向量表示未知向量

例3 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边

→→→→

形外一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，→→BC，BD.

→→

【解析】 因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c，→→→→→→

BC＝AC－AB＝b－a，故BD＝BC＋CD＝b－a＋c.

→→→

由平行四边形的性质可知CD ＝AE ＝c，由向量的减法可知：→→→→→→BC ＝AC －AB，由向量的加法可知BD ＝BC ＋CD.

方法归纳

利用已知向量表示其他向量的思路

解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．

常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的

→→→→→→

和(差)，即AM＝AB＋BM以及AB＝NB－NA(M，N均是同一平面内的任意点)．

跟踪训练3 本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？

→→

解析：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝→→→→→→

c，BC＝AC－AB＝b－a，BD＝BC＋CD＝b－a＋c.

第一步：观察各向量的位置．

第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形． 第三步：运用法则找关系． 第四步：化简结果．

[基础巩固](25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列运算中正确的是( ) →→→→→→A.OA－OB＝AB B.AB－CD＝DB →→→→→C.OA－OB＝BA D.AB－AB＝0

→→→

解析：根据向量减法的几何意义，知OA－OB＝BA，所以C正确，

→→

A错误；B显然错误；对于D，AB－AB应该等于0，而不是0.

答案：C

→

2．下列四式中不能化简为PQ的是( ) →→→→→→→A.AB＋(PA＋BQ) B．(AB＋PC)＋(BA－QC) →→→→→→C.QC－QP＋CQ D.PA＋AB－BQ

→→→→→→→→

解析：D中，PA＋AB－BQ＝PB－BQ＝PB＋QB不能化简为PQ，其余选项皆可．

答案：D

→→

3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD－AC等于( ) →→A.CB B.BC →→C.CD D.DC

解析：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的

→→→

几何意义可得AD－AC＝CD.

答案：C

→→→→

4．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝( )

A．a－b＋c

B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c

→→→→

解析：DC＝DA＋AB＋BC＝a－b＋c. 答案：A

5．给出下列各式： →→→①AB＋CA＋BC； →→→→②AB－CD＋BD－AC； →→→③AD－OD－AO； →→→→④NQ－MP＋QP＋MN.

对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1

→→→→→

解析：①AB＋CA＋BC＝AC＋CA＝0； →→→→→→→→→→

②AB－CD＋BD－AC＝AB＋BD－(AC＋CD)＝AD－AD＝0； →→→→→→→→

③AD－OD－AO＝AD＋DO＋OA＝AO＋OA＝0；

→→→→→→→→→→

④NQ－MP＋QP＋MN＝NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0. 答案：A

二、填空题(每小题5分，共15分) →→→

6.EF＋DE－DB＝________.

→→→→→→

解析：EF＋DE－DB＝EF＋BE＝BF.

→

答案：BF

7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.

解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线同向，所以|a－b|＝2.

答案：0 2

→

8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|BC|＝4，→→→→→

|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.