2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修4 - 第2章 平面向2.2.1-2.2

第2课时 向量减法运算及其几何意义

1.相反向量 与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a. (1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝0. (3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． →→(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝→b，则BA＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 状元随笔 1.准确理解向量减法的几何意义 (1)向量减法是向量加法的逆运算． →→→→→→设x＋b＝a，则x＝a－b， →→→→如图，设OA ＝a，OB ＝b. 由向量加法的三角形法则可知 →→→OA ＝OB ＋BA， →→→→→∴BA ＝OA －OB ＝a－b. (2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量． →→→→(3)以向量AB＝a，AD＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条→→→→→→→→→对角线的向量为AC＝a＋b，BD ＝b－a，DB ＝a－b. →→→→→→2．若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义比较，→→→→

如图所示，设OA＝a，OB＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向

→→→→→→

量减法的三角形法则，有OC＝a＋b，BA＝a－b.因为四边形

→→→→→→

OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝|OC|，|a－b|＝|BA|分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． [小试身手]

1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( )

(2)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量．( )

(3)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√

2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( ) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反

解析：零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|. 答案：A

→→→

3．在三角形ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝( ) A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b

→→→→→

解析：AB＝CB－CA＝－BC－CA＝－a－b. 答案：D →→

4.PA－PB＝________.

→→→

解析：PA－PB＝BA.

→

答案：BA

类型一 已知向量作差向量

例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

→

【解析】 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作OA＝a，→→→

OB＝b，OC＝c，连接BC，则CB＝b－c.过点A作AD綊BC，连接

→→→→

OD，则AD＝b－c，所以OD＝OA＋AD＝a＋b－c.

→→

方法二 如图②，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，连

→→→

接OB，则OB＝a＋b，再作OC＝c，连接CB，则CB＝a＋b－c.

→→

方法三 如图③，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，连

→→→

接OB，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，则OC＝a＋b－c.

方法归纳

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.

→→→→

解析：如图所示，以A为起点分别作向量AB和AC，使AB＝a，AC

→→→

＝b.连接CB，得向量CB＝a－b，再以C为起点作向量CD，使CD＝c，

→→

连接DB，得向量DB＝(a－b)－c.则向量DB即为所求作的向量a－b－c.

→→→→→先作a－b，再作a－b－c. 类型二 向量的减法运算

→→→→

例2 化简(AB－CD)－(AC－BD)．

→→→→→

【解析】 方法一(统一成加法) (AB－CD)－(AC－BD)＝AB－→→→→→→→→→→→→→CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA＝AD＋DA＝0.

→→→→→→→→→

方法二(利用OA－OB＝BA) (AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD→→→→→→→→→→→

－AC＋BD＝(AB－AC)－CD＋BD＝CB－CD＋BD＝DB＋BD＝0.

→→→→

方法三(利用AB＝OB－OA) 设O是平面内任意一点，则(AB－→→→→→→→→→→→CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－→→→→→→→→→→→→(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.