2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数的应用》章末复习及高频考点解析

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最新（新课标）北师大版高中数学必修一

函数的应用

1．函数的零点

(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)确定函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．

(3)一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．

(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．

(5)判断函数在某区间有零点的依据：

对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根．

对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端

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点处，函数值之积小于0.

2．实际问题的函数建模 解决应用问题的一般程序是：

(1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；

(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； (3)求模：求解数学模型，得到数学结论；

(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为

?x＋2x－3，x≤0

[例1] 函数f(x)＝?的零点个数为( )

?－2＋ln x，x＞0

A．0 B．1 C．2 D．3

[解析] 法一：当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；

当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e，所以函数f(x)的零点个数为2.

2

2

2

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?（x＋1）－4，x≤0

法二：在坐标系中作出函数f(x)＝?的图像，由图像知，有两个零点．

－2＋ln x，x＞0?

[答案] C [借题发挥]

函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题．常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法．

2

1．在下列区间中，函数f(x)＝e＋4x－3的零点所在的区间为( ) 1

A．(－，0)

411

C．(，)

42

1

B．(0，)

413D．(，)

24

x

1111

1111x

解析：因为f()＝e4＋4×－3＝e4－2<0，f()＝e2＋4×－3＝e2－1>0，所以f(x)＝e＋4x

4422

11

－3的零点所在的区间为(，)．

42

答案：C

2．已知x0是函数f(x)＝2＋

x

1

的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( ) 1－x

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0

解析：函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上是增函数．

又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)＜0，f(x2)＞0.

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答案：B

3．若函数f(x)的零点与g(x)＝4＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )

A．f(x)＝4x－1 C．f(x)＝e－1

x

x

B．f(x)＝(x－1) 1

D．f(x)＝ln (x－)

2

2

1131x

解析：∵g(x)＝4＋2x－2在R上连续，且g()＝2＋－2＝2－＜0，g()＝2＋1－2

4222＝1＞0.

11x

设g(x)＝4＋2x－2的零点为x0，则＜x0＜，

4211?1?1

故0＜x0－＜，∴?x0－?＜.

4?444?1

又f(x)＝4x－1的零点为x＝；

4f(x)＝(x－1)的零点为x＝1； f(x)＝e－1的零点为x＝0； 13

f(x)＝ln (x－)的零点为x＝.

22答案：A

[例2] 已知二次函数f(x)＝x－(m－1)x＋2，在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．

[解] (1)当方程x－(m－1)x＋2＝0，在[0，1]上有两个相等的实根时，

2

2

x

2

?

有?m－1

?0≤2≤1，

Δ＝（m－1）－8＝0，

2

解得m＝1±22，1≤m≤3， ∴此种情况不存在．

(2)当方程x－(m－1)x＋2＝0有两个不相等实根时，

2

?f（0）·f（1）≤0，

有且只有一根在[0，1]上，有?

?Δ＞0，