2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形学案 理

于是cosA＝3. 2

π

又A为三角形的内角，因此A＝.

6(2)cos?

?5π－B?－2sin2C

?2?2?

?5π－B?－1

?

?6?

＝sinB＋cosC－1 ＝sinB＋cos?5π5π

＝sinB＋coscosB＋sinsinB－1

6633

＝sinB－cosB－1 22

?π?＝3sin?B－?－1，

6??

ππ?π2π??5π?由A＝可知，B∈?0，?，所以B－∈?－，?，

6?3?66?6?

?π??1?从而sin?B－?∈?－，1?，

6??2??

3＋2???π?因此，3sin?B－?－1∈?－，3－1?， 6??2??故cos?

3＋2??5π－B?－2sin2C的取值范围为???－，3－1?.

2?2?2??

专题跟踪训练(十五)

一、选择题

π?3??π?1．(2018·广东七校联考)已知sin?α＋?＋cosα＝－，则cos?－α?＝( )

6?3??6?222211

A．－ B. C．－ D. 3333

π?33133?[解析] 由sin?α＋?＋cosα＝－，得sinα＋cosα＋cosα＝－，即

6?32232?33

sinα＋cosα＝－，

23

π?3?亦即3sin?α＋?＝－，

3?3?π?1?∴sin?α＋?＝－， 3?3?

13

ππ?π?π??????－α∴cos?＝sin?－?－α??＝sin?α＋? ?3????6???2?61

＝－，故选C.

3[答案] C

?π?1??π??2．(2018·贵阳监测)已知sin?－α?＝，则cos?2?＋α??的值是( ) ?6?3??3??

7117

A. B. C．－ D．－ 9339

?π?1?π???π???2?π

[解析] ∵sin?－α?＝，∴cos?－2α?＝cos?2?－α??＝1－2sin?－α?＝

?6?3?3???6???6?

7??π???2π＋2α

，∴cos?2?＋α??＝cos?9??3???3

[答案] D

3．(2018·湖北武汉模拟)在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝A.

ππ3ππ3π

B. C. D.或 64444

π

2×sin3

3

2π，所以A＝24

π

，则A等于( ) 3

?＝cos?π－?π－2α??＝－cos?π－2α???3???3???????＝－7.

?9?

abasinB[解析] 由正弦定理得＝，所以sinA＝＝

sinAsinBb3ππ

或.又a

[答案] B

＝4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为( )

A.

ππππ

B. C. D. 2346

[解析] 由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，sinBcosC＝3sinCcosB，sin2CcosC＝3sinCcos2C,2cosC＝3(cosC－sinC)，tanC13πππ

＝，∵B＝2C，∴C为锐角，∴tanC＝，C＝，B＝，A＝，故选A. 33632

[答案] A

5．在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB2

＝，则b＝( ) 3

A．14 B．6 C.14 D.6

[解析] bsinA＝3csinB?ab＝3bc?a＝3c?c＝1，∴b＝a＋c－2accosB＝9＋1－

14

2

2

2

2

2

2

2

2

2×3×1×＝6，b＝6，故选D.

3

[答案] D

6．(2018·山东日照二模)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为( )

A．23＋2 C.

3

＋2 2

B.

3＋1

2

D.3＋1

2

2

2

[解析] 在△ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，由余弦定理得：AC＝1＋2－1?π?22

2×1×2cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD＝AC＝5－4cosα，S△BCD＝·2·CD·sin?＋β?

2?3?311?π?＝CD·sin?＋β?＝CD·cosβ＋CD·sinβ，在△ABC中，由正弦定理得：＝

2sinβ?3?2

ACsinα

，∴AC·sinβ＝sinα，∴CD·sinβ＝sinα，∴(CD·cosβ)＝CD(1－sinβ)＝CD2

2

2

2222

－sinα＝5－4cosα－sinα＝(2－cosα)，∵β<∠BAC，∴β为锐角，CD·cosβ＝2－cosα，∴S△BCD＝

3131

CD·cosβ＋CD·sinβ＝·(2－cosα)＋sinα＝3＋2222

π?5π?sin?α－?，当α＝时，(S△BCD)max＝3＋1.

3?6?

[答案] D 二、填空题

7．(2018·长春二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，则A＝________.

[解析] 由已知，根据正弦定理得2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a＝b＋c＋bc.由余1222

弦定理得a＝b＋c－2bccosA，故cosA＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.

2

[答案] 120°

8．计算：4cos50°－tan40°＝________. sin40°

[解析] 4cos50°－tan40°＝4sin40°－

cos40°

2

2

2

2

15

＝＝＝＝＝

4cos40°sin40°－sin40°

cos40°2sin80°－sin40°

cos40°

2sin?120°－40°?－sin40°

cos40°3cos40°＋sin40°－sin40°

cos40°3cos40°

＝3.

cos40°

3

22

，3

[答案]

9．(2018·安徽合肥一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝

bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为________．

[解析] 已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R为△

ABC的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，则2RsinC＝2，因为cosC221＝，所以sinC＝，所以R＝3.故△ABC的外接圆面积为9π.

33

[答案] 9π 三、解答题

4510．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. 35(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．

4sinα4

[解] (1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.

3cosα39222

因为sinα＋cosα＝1，所以cosα＝，

2572

所以cos2α＝2cosα－1＝－.

25

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 又因为cos(α＋β)＝－

5， 5

252所以sin(α＋β)＝1－cos?α＋β?＝，

5因此tan(α＋β)＝－2.

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