2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形学案 理

参考数据：2≈1.414，5≈2.236.

[解析] 因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.

设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v m， 在Rt△ADB中，AB＝在Rt△ADC中，AC＝

＝＝200 m.

cos∠BADcos60°

100＝＝1002 m.

cos∠CADcos45°

2

2

2

ADADAD在△ABC中，由余弦定理，得BC＝AC＋AB－2AC·AB·cos∠BAC，

5010222

所以(14v)＝(1002)＋200－2×1002×200×cos135°，解得v＝≈22.6，所

7以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.

[答案] 22.6

[快速审题] 看到三角函数的实际应用问题，想到各类角的概念，想到确定一个解斜三角形的数学模型．

解三角形实际问题的4步骤

9

1

1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝( )

38778A. B. C．－ D．－ 9999

127?1?22

[解析] 由sinα＝，得cos2α＝1－2sinα＝1－2×??＝1－＝.故选B.

399?3?[答案] B

2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为

a2＋b2－c2

4A.

，则C＝( )

ππππ

B. C. D. 2346

2

2

2

[解析] 根据余弦定理得a＋b－c＝2abcosC，因为S△ABC＝

a2＋b2－c2

4

，所以S△ABC＝

2abcosC1π

，又S△ABC＝absinC，所以tanC＝1，因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C. 424

[答案] C

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.

[解析] 由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，

两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，整理得

10

1

sin(α＋β)＝－.

21

[答案] －

2

4．(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝

acos?B－?.

6

??

π??

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． [解] (1)在△ABC中，

由正弦定理＝，可得bsinA＝asinB，

sinAsinBab?π??π??π?又由bsinA＝acos?B－?，得asinB＝acos?B－?，即sinB＝cos?B－?，可得tanB6?6?6????

＝3.

π

又因为B∈(0，π)，可得B＝.

3

π222

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b＝a＋c－2accosB＝7，故b3＝7.

3?π?由bsinA＝acos?B－?，可得sinA＝.

6??7因为a

2. 7

4312

因此sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cosA－1＝.所以，sin(2A－B)＝sin2A·cosB774311333

－cos2AsinB＝×－×＝. 727214

1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．

2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．

3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．

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热点课题8 解三角形中的范围问题

[感悟体验]

(2018·河南豫北联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acosC＝(2b－3c)cosA.

(1)求角A的大小； (2)求cos?

?5π－B?－2sin2C的取值范围．

?2?2?

[解] (1)由正弦定理将原等式化为3sinAcosC＝2sinBcosA－3sinCcosA， 从而可得，3sin(A＋C)＝2sinBcosA， 即3sinB＝2sinBcosA.

又B为三角形的内角，所以sinB≠0，

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