江苏省常州市2013年中考数学真题试题（解析版）

最大值为CE的长， ∵△OAB为等腰直角三角形， ∴AB=OA=6， ∴OE=AB=3， ，△ABC的面积=CE?AB=×（3+3）×6=9+18． ∴CE=OC+CE=3+3∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18． （3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F， ∵OC∥AD， ∴∠ADO=∠COD=90°， ∴∠DOA+∠DAO=90° 而∠DOA+∠COF=90°， ∴∠COF=∠DAO， ∴Rt△OCF∽Rt△AOD， ∴=，即=，解得CF=， 在Rt△OCF中，OF==， ∴C点坐标为（﹣，）； ②直线BC是⊙O的切线．理由如下： 在Rt△OCF中，OC=3，OF=， ∴∠COF=30°， ∴∠OAD=30°， ∴∠BOC=60°，∠AOD=60°， ∵在△BOC和△AOD中 ， ∴△BOC≌△AOD（SAS）， ∴∠BCO=∠ADC=90°， ∴OC⊥BC， ∴直线BC为⊙O的切线． 17

点评： 本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算． 28．（10分）（2013?常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA． （1）写出A、C两点的坐标；

（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；

（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD?AQ=PQ?DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．

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考点： 一次函数综合题 分析： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解； （2）如答图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解； （3）如答图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：程求出m的值． 解答： 解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2， ∴A（﹣1，0），C（0，2）； （2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如答图1所示． ∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线， ∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m）， ∴P（0，2m﹣2）； 直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x=设直线DP的解析式为y=kx+b，则有 ，解得：k=﹣2，b=2m﹣2， ∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2． 令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）． 已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ， ∴整理得：（m﹣1）=∴m=． （3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD?AQ=PQ?DE． 依题意画出图形，如答图2所示． 由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，由勾股定理得：PQ=（m﹣1）； ∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1； ∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=． ∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB， ∴； ， ， 2，据此列方，∴D（，m）， ，即，解得：m=（＞1，不合题意，舍去）或m=， ， 又∵CD?AQ=PQ?DE，∴∴，即 19

解得：m=． ． ∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m=∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m=不存在． ，使CD?AQ=PQ?DE；若0＜a≤1，则m 点评： 本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点．题目综合性较强，有一定的难度．第（3）问中，注意比例式的转化

，这样可以简化计算． 20