江苏省常州市2013年中考数学真题试题（解析版）

24．（6分）（2013?常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题： ∠ABC= 30° ，∠A′BC= 90° ，OA+OB+OC= ．

考点： 作图-旋转变换． 专题： 作图题． 分析： 解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC； 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C． 解答： 解：∵∠C=90°，AC=1，BC=， ∴tan∠ABC===， ∴∠ABC=30°， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°， ∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°， ∴AB=2AC=2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°， ∵∠AOC=∠COB=BOA=120°， ∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C=∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=故答案为：30°；90°；． =． =， 13

点评： 本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A′、O′四点共线是解题的关键． 25．（7分）（2013?常州）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）． （1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；

（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？ 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 分析： （1）表示出生产乙种饮料（650﹣x）千克，然后根据所需A种果汁和B种果汁的数量列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围； （2）根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理，再根据一次函数的增减性求出最大销售额． 解答： 解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克， 根据题意得，， 由①得，x≤425， 由②得，x≥200， 所以，x的取值范围是200≤x≤425； （2）设这批饮料销售总金额为y元， 根据题意得，y=3x+4（650﹣x）=3x+2600﹣4x=﹣x+2600， 即y=﹣x+2600， ∵k=﹣1＜0， ∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元． 点评： 本题考查了一次函数的应用，列一元一次不等式组解实际问题，根据A、B果汁的数量列出不等式组是解题的关键，（2）主要利用了一次函数的增减性． 14

七．解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 26．（6分）（2013?常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=a+b﹣1（史称“皮克公式”）．

小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：

根据图中提供的信息填表： 格点多边形各边上格点边多边形内部格点多边形的面积 的格点的个数 的格点个数 多边形1 8 1 多边形2 7 3 ? ? ? ? 一般格点多边形 a b S 则S与a、b之间的关系为S= a+2（b﹣1） （用含a、b的代数式表示）． 考点： 规律型：图形的变化类． 分析： 根据8=8+2（1﹣1），11=7+2（3﹣1）得到S=a+2（b﹣1）． 解答： 解：填表如下： 格点多边形各边上格点边多边形内部格点多边形的面积 的格点的个数 的格点个数 多边形1 8 1 8 多边形2 7 3 11 ? ? ? ? 一般格点多边形 a b S 则S与a、b之间的关系为S=a+2（b﹣1）（用含a、b的代数式表示）． 点评： 考查了作图﹣应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算． 27．（9分）（2013?常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为 45°或135° ；

（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．

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（3）连接AD，当OC∥AD时，

①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

考点： 圆的综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°； （2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C， 此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积； （3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则CF=，再利用勾股定理计算出OF==，即=，解得，则可得到C点坐标； ②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，则可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定 直线BC为⊙O的切线． 解答： 解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6）， ∴OA=OB=6， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠OBA=45°， ∵OC∥AB， ∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°； （2）∵△OAB为等腰直角三角形， ∴AB=OA=6， ∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大， 过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的 16