(全优试卷)安徽省黄山市高三数学上学期第四次月考试卷 理(含解析)

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∵α∈（0，），β∈（0，），

∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．

xx

12．已知函数f（x）=lg（a﹣b）+x中，常数a、b满足a＞1＞b＞0，且a=b+1，那么f（x）＞1的解集为（ ） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，10） D．（10，+∞） 【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明． 【专题】综合题；压轴题；函数的性质及应用．

【分析】先根据复合函数的单调性判断f（x）的单调性，然后计算得f（1）=1，再由单调性即可求得不等式的解集．

xx

【解答】解：由a﹣b＞0即＞1解得x＞0，所以函数f（x）的定义域为（0，+∞），

xxxx

因为a＞1＞b＞0，所以a递增，﹣b递增，所以t=a﹣b递增，

xx

又y=lgt递增，所以f（x）=lg（a﹣b）+x为增函数，

而f（1）=lg（a﹣b）+1=lg1+1=1，所以x＞1时f（x）＞1， 故f（x）＞1的解集为（1，+∞）． 故选B．

【点评】本题考查函数单调性的判断及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上. 13．已知是平面内的单位向量，若向量满足?（﹣）=0，则||的取值范围是 [0，1] ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】压轴题．

【分析】本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，由向量满足?（﹣）=0，变化式子为模和夹角的形式，整理出||的表达式，根据夹角的范围得到结果． 【解答】解：∵， 即，

∴且θ∈[0，π]， ∵为单位向量， ∴， ∴， ∴．

故答案为：[0，1]

【点评】本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算，本题是把向量的数量积同三角函数问题结合在一起．

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14．（x﹣y）（x+y）的展开式中xy的系数为 ﹣20 ．（用数字填写答案） 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题；二项式定理．

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【分析】由题意依次求出（x+y）中xy，xy，项的系数，求和即可．

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【解答】解：（x+y）的展开式中，含xy的系数是：8．

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含xy的系数是28，

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∴（x﹣y）（x+y）的展开式中xy的系数为：8﹣28=﹣20． 故答案为：﹣20

【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．

15．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 5 ． 【考点】基本不等式． 【专题】计算题．

【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0 ∴

∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5 当且仅当即x=2y=1时取等号 故答案为：5 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑

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16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax+（a+2）x+1相切，则a= 8 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】开放型；导数的综合应用．

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【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值． 【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+， 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，

则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．

2

由于切线与曲线y=ax+（a+2）x+1相切，

2

故y=ax+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，

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得ax+ax+2=0，

又a≠0，两线相切有一切点，

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所以有△=a﹣8a=0， 解得a=8． 故答案为：8．

【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2015?新课标II）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明： （1）若ab＞cd，则+＞+；

（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．

【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑． 【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；

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（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．

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【解答】证明：（1）由于（+）=a+b+2，

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（+）=c+d+2，

由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd， 则＞，

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即有（+）＞（+）， 则+＞+；

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（2）①若+＞+，则（+）＞（+）， 即为a+b+2＞c+d+2， 由a+b=c+d，则ab＞cd，

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于是（a﹣b）=（a+b）﹣4ab，

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（c﹣d）=（c+d）﹣4cd，

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即有（a﹣b）＜（c﹣d），即为|a﹣b|＜|c﹣d|；

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②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）＜（c﹣d），

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即有（a+b）﹣4ab＜（c+d）﹣4cd， 由a+b=c+d，则ab＞cd，

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则有（+）＞（+）．

综上可得， +＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件． 【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题． 18．（12分）（2013?屯溪区校级模拟）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c．若向量=，，向量=（1，，且=﹣1． （1）求A的值；

（2）若，三角形面积，求b+c的值．

【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（1）由2 =﹣1求得得，又A∈（0，π），从而求得A的值． （2）由三角形面积，求得bc=4，再根据余弦定理求得b+c的值． 【解答】解：（1）∵向量，向量，且 2 =﹣1． ∴，…（3分）

求得，又A∈（0，π），所以，．…（5分） （2），∴bc=4．…（7分） 又由余弦定理得：．…（9分）

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∴16=（b+c），所以b+c=4．…（12分）

【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，余弦定理的应用，属于中档题． 19．（12分）（2015?新课标II）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

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【专题】坐标系和参数方程．

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【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．

（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．

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【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ=2ρsinθ， 22

∴x+y=2y．

同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：， 联立， 解得，，

∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），． （2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0）， ∴A（2sinα，α），B． ∴|AB|==4，

当时，|AB|取得最大值4．

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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20．（12分）（2012秋?黄冈期中）已知抛物线y=ax+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题．

【分析】依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，，所以=．由直线x+y=4与抛

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物线y=ax+bx相切，知ax+（b+1）x﹣4=0中△=（b+1）+16a=0，由此能求出S达到最大值的a，b值及S的最大值．

【解答】解：依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，， 所以=（） =+

=（1）…（4分）

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又直线x+y=4与抛物线y=ax+bx相切， 即它们有唯一的公共点 由方程组，

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得ax+（b+1）x﹣4=0，其判别式△必须为0，

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即△=（b+1）+16a=0， 于是，…（8分） 代入（1）式得：， ．

令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3； 当0＜b＜3时，S′（b）＞0； 当b＞3时，S′（b）＜0．

故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值， 即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．…（12分）